1. **Exercice 1: Déterminer les limites en 0** Pour chacune des expressions, on utilise la limite fondamentale $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ et le fait que $\tan x \sim x$ près de 0. a) $$f(x) = \frac{3x}{\sin(5x)}$$ 1. Comme $x \to 0$, $\sin(5x) \sim 5x$. 2. Donc $$f(x) \sim \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$$. 3. La limite est donc $$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{3}{5}$$. b) $$f(x) = \frac{\sin x + \sin (2x)}{\sin x - \sin (2x)}$$ 1. Près de 0, $\sin x \sim x$ et $\sin (2x) \sim 2x$. 2. Donc : $$f(x) \sim \frac{x + 2x}{x - 2x} = \frac{3x}{-x} = -3$$ 3. La limite est $$\lim_{x \to 0} f(x) = -3$$. c) $$f(x) = \frac{\tan(4x)}{\sin(3x)}$$ 1. Près de 0, $\tan(4x) \sim 4x$ et $\sin(3x) \sim 3x$. 2. Donc : $$f(x) \sim \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$$ 3. La limite est $$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{4}{3}$$. 2. **Exercice 2: Calculer les limites éventuelles** a) $$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{\sin 4x}$$ 1. Calculons numérateur et dénominateur au point : $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 2. Numérateur tend vers $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. 3. $4x \to \pi$, donc $\sin 4x \to \sin \pi = 0$. 4. On doit utiliser la règle de l'Hôpital : Derivée numérateur : $\cos x + \sin x$ Derivée dénominateur : $4 \cos 4x$ 5. En $x = \frac{\pi}{4}$: Numérateur dérivé : $\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ Dénominateur dérivé : $4 \cos \pi = 4 \times (-1) = -4$ 6. Donc la limite vaut: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{\sin 4x} = \frac{\sqrt{2}}{-4} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$ b) $$\lim_{x \to -\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{-\sin (2x) + \sqrt{3} \cos (2x)}$$ 1. Calcul au point : $\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, $\sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$. 2. Numérateur: $$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$ 3. Dénominateur: $$-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{3} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$ 4. Limite indéterminée 0/0, on applique l'Hôpital : - Dérivée numérateur : $\cos x - \sqrt{3} \sin x$ - Dérivée dénominateur : $-2 \cos (2x) - 2 \sqrt{3} \sin (2x)$ 5. Évaluons en $x = -\frac{\pi}{3}$ : Numérateur dérivé : $\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - \sqrt{3} \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$ Dénominateur dérivé : $-2 \cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) - 2 \sqrt{3} \sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 \sqrt{3} \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + 3 = 4$ 6. La limite est donc: $$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ c) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 3x}{x}$$ 1. Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par $x$ (positif): $$= \frac{\frac{\sqrt{x^2 +1}}{x} + 3x/x}{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 3$$ 2. Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{x^2} \to 0$, donc: $$= \sqrt{1 + 0} + 3 = 1 + 3 = 4$$ d) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+5} - x}{\sqrt{x^2 - x}}$$ 1. Notons que pour grand $x$, $\sqrt{x+5} \sim \sqrt{x}$, mais $x$ domine $\sqrt{x}$. 2. Réécrivons dénominateur: $$\sqrt{x^2 - x} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \sim x (1 - \frac{1}{2x}) = x - \frac{1}{2}$$ 3. Numérateur: $$\sqrt{x+5} - x = \sqrt{x+5} - x$$ Pour grand $x$: $$\sqrt{x+5} \sim \sqrt{x}(1 + \frac{5}{2x}) = \sqrt{x} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$$ 4. Donc $$ \sqrt{x+5} - x \sim \sqrt{x} - x + \frac{5}{2\sqrt{x}}$$ 5. Divisons par dénominateur donc par $\sim x$: $$f(x) \sim \frac{\sqrt{x} - x + \frac{5}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{x}{x} + \frac{5}{2\sqrt{x} x} = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 + \frac{5}{2 x^{3/2}}$$ 6. Pour $x \to +\infty$, $1/\sqrt{x} \to 0$ et $5/(2 x^{3/2}) \to 0$, donc limite: $$-1$$ e) $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 4x + 3} - x$$ 1. Factorisons $x^2$ dans la racine: $$= x \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} - x$$ 2. Pour grand $x$, developpons la racine: $$\sqrt{1 + u} \sim 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots$$ avec $u = \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}$ 3. Donc: $$\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} \sim 1 + \frac{2}{x} + o(\frac{1}{x})$$ 4. Donc: $$= x \left(1 + \frac{2}{x}\right) - x = x + 2 - x = 2$$ 5. La limite est $2$. f) $$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + 4x + 3} + 2x + 1$$ 1. Pour $x \to -\infty$, $|x| = -x$. 2. Factorisions comme en (e): $$\sqrt{x^2 + 4x + 3} = |x| \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = -x \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}$$ 3. Avec le développement: $$\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} \sim 1 + \frac{2}{x}$$ 4. Donc $$\sqrt{x^2 + 4x + 3} \sim -x \left(1 + \frac{2}{x}\right) = -x - 2$$ 5. Enfin $$f(x) = (-x - 2) + 2x + 1 = x - 1$$ 6. Lorsque $x \to -\infty$, $x - 1 \to -\infty$ 3. **Exercice 3: Comportement en $+\infty$** a) $$f(x) = x^2 - 2 \sin x$$ 1. $x^2$ domine la fonction et tend vers $+\infty$. 2. $-2 \sin x$ reste borné entre $-2$ et $2$. 3. Donc $f(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$. b) $$f(x) = \frac{2x + \sin x}{x}$$ 1. Divisons numérateur et dénominateur par $x$: $$f(x) = 2 + \frac{\sin x}{x}$$ 2. Comme $\frac{\sin x}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, $$f(x) \to 2$$ c) $$f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}$$ 1. Le dénominateur tend vers $-\infty$. 2. Le numérateur est borné entre $-1$ et $1$. 3. Donc $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$. **Résumé des résultats:** - Ex1: a) 3/5 ; b) -3 ; c) 4/3 - Ex2: a) $-\frac{\sqrt{2}}{4}$ ; b) 1/2 ; c) 4 ; d) -1 ; e) 2 ; f) $-\infty$ - Ex3: a) $+\infty$ ; b) 2 ; c) 0