1. **Énoncé du problème** : Nous avons deux fonctions $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ et $g(x) = \sqrt{x - 1}$. Nous devons vérifier leur intersection, représenter leurs courbes, résoudre une inéquation graphique, déterminer des images d'intervalles, et étudier une fonction composée $h$. 2. **Vérifier que $(C_f)$ et $(C_g)$ sont sécantes en $A(2,1)$** : - Calculons $f(2)$ : $$f(2) = -(2)^2 + 2 \times 2 + 1 = -4 + 4 + 1 = 1.$$ - Calculons $g(2)$ : $$g(2) = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1.$$ - Comme $f(2) = g(2) = 1$, le point $A(2,1)$ appartient bien aux deux courbes, donc elles sont sécantes en $A$. 3. **Représenter les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$**: - $(C_f)$ est une parabole décroissante ensuite croissante avec sommet à calculer, et $(C_g)$ est la fonction racine carrée décalée à droite de 1. - Le domaine de $g$ est $[1, +\infty[$. 4. **Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2 - 2x -1 + \sqrt{x -1} < 0$**: - Remarquons que $x^2 - 2x - 1 = -f(x)$ (car $f(x) = -x^2 + 2x + 1$), donc l'inéquation devient $$ -f(x) + g(x) < 0 \iff g(x) < f(x).$$ - La solution est l'ensemble des $x$ où la courbe de $g$ est en dessous de celle de $f$. 5. **Déterminer graphiquement $f([0;1])$ et $f([1;2])$ :** - Calculons les images aux bornes et vérifions la forme sur ces intervalles. - $f(0) = 1$, $f(1) = -1 + 2 + 1 = 2$ donc $f([0;1])$ est entre 1 et 2. - $f(1) = 2$, $f(2) = 1$, donc $f([1;2])$ est entre 1 et 2, mais la parabole décroît de 2 à 1 sur cet intervalle. 6. **Fonction $h(x) = \sqrt{2x - x^2}$**: a) **Domaine de définition de $h$**: L'expression sous racine doit être $0$ : $$2x - x^2 \geq 0 \iff x(2 - x) \geq 0,$$ ce qui est vrai pour $x \in [0, 2]$. b) **Vérifier que $h = g \circ f$ sur $D_h$:** $$g(f(x)) = \sqrt{f(x) - 1} = \sqrt{-x^2 + 2x + 1 - 1} = \sqrt{2x - x^2} = h(x).$$ c) **Étudier la monotonie de $h$ sur $[0,1]$ et $[1,2]$**: - La dérivée de $h$ est $$h'(x) = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}.$$ - Sur $[0,1]$, $1-x \geq 0$, donc $h'(x) \geq 0$ : $h$ est croissante. - Sur $[1,2]$, $1-x \leq 0$, donc $h'(x) \leq 0$ : $h$ est décroissante. **Réponse finale** : - Les courbes sont sécantes en $A(2,1)$. - L'inéquation $x^2 - 2x -1 + \sqrt{x -1} < 0$ équivaut à $g(x) < f(x)$ avec solution graphique. - $f([0;1]) = [1,2]$, $f([1;2]) = [1,2]$ mais décroissant sur le second. - $h$ est définie sur $[0,2]$, $h = g \circ f$ et $h$ est croissante sur $[0,1]$ et décroissante sur $[1,2]$.