1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'intégrale définie $$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x+1}{(1+x^2)^2} \, dx$$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour résoudre cette intégrale, on peut utiliser la décomposition en parties ou reconnaître que la fonction est une somme de termes dont l'un est impair et l'autre pair. 3. **Analyse de la fonction :** La fonction s'écrit $$f(x) = \frac{x+1}{(1+x^2)^2} = \frac{x}{(1+x^2)^2} + \frac{1}{(1+x^2)^2}$$. - Le terme $$\frac{x}{(1+x^2)^2}$$ est une fonction impaire car $$f(-x) = -f(x)$$. - Le terme $$\frac{1}{(1+x^2)^2}$$ est une fonction paire car $$f(-x) = f(x)$$. 4. **Propriétés d'intégration :** - L'intégrale d'une fonction impaire sur $$[-\infty, \infty]$$ est nulle. - L'intégrale d'une fonction paire sur $$[-\infty, \infty]$$ est deux fois l'intégrale de 0 à $$\infty$$. 5. **Calcul de l'intégrale :** $$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx + \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} \, dx = 0 + 2 \int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} \, dx$$ 6. **Intégrale standard :** On utilise la formule connue : $$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^2} = \frac{\pi}{4}$$ 7. **Conclusion :** Donc, $$I = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{\pi}{2}}$$