1. **Énoncé du problème :** Trouver l'image d'une fonction $f$ signifie déterminer l'ensemble des valeurs que $f(x)$ peut prendre lorsque $x$ parcourt son domaine. 2. **Formule et règles importantes :** L'image de $f$ est l'ensemble $\{y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in \text{Domaine de } f\}$. 3. **Méthodes pour trouver l'image :** - **Méthode 1 : Étudier la fonction analytiquement** - Trouver le domaine de définition. - Étudier la monotonie (croissance/décroissance) en calculant la dérivée $f'(x)$. - Identifier les extrema (minimums et maximums) pour délimiter l'image. - **Méthode 2 : Résolution d'équation** - Pour une valeur $y$ donnée, résoudre $f(x) = y$. - Trouver les valeurs de $y$ pour lesquelles il existe au moins une solution $x$. - **Méthode 3 : Analyse graphique** - Tracer la courbe de $f$. - Observer les valeurs prises par $f(x)$. 4. **Exemple simple :** Soit $f(x) = x^2$ avec $x \in \mathbb{R}$. - Le domaine est $\mathbb{R}$. - La fonction est décroissante sur $(-\infty,0]$ et croissante sur $[0,+\infty)$. - Le minimum est $f(0) = 0$. - L'image est donc $[0,+\infty)$. 5. **Conclusion :** Trouver l'image d'une fonction nécessite d'analyser son comportement, ses extrema, et de résoudre éventuellement $f(x) = y$ pour déterminer les valeurs atteintes par $f$.