1. Le problème porte sur les fonctions puissances et polynômes, leurs degrés, coefficients dominants, caractéristiques, équations, et transformations graphiques. 2. Pour une fonction polynôme $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$, le degré est $n$ (le plus grand exposant) et le coefficient dominant est $a_n$ (le coefficient du terme de plus haut degré). 3. Les caractéristiques des fonctions polynômes incluent le comportement aux extrémités (selon le degré et le signe du coefficient dominant), le nombre maximal de racines réelles, les extremums locaux, et la forme générale du graphe. 4. À partir d’un graphique, on peut déterminer une fonction polynôme en identifiant notamment son degré par la forme du graphe, ses zéros (intersections avec l’axe $x$), et en estimant ou calculant le coefficient dominant par l’ouverture ou la concavité. 5. Les transformations d’une fonction puissance $f(x)$ pour obtenir une transformée peuvent être: - Translations verticales ou horizontales : $f(x) \to f(x - h) + k$ - Dilatations ou contractions verticales : $f(x) \to a f(x)$ - Réflexions par rapport aux axes : $f(x) \to -f(x)$ ou $f(x) \to f(-x)$ Chaque transformation modifie le graphe selon ces règles, et l’équation de la transformée s’écrit en fonction des paramètres $a, h, k$. 6. La pente d’une sécante entre deux points $x=a$ et $x=b$ sur la courbe $y=f(x)$ est le taux de variation moyen : $$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ Cela donne la moyenne de la variation de $y$ par rapport à $x$ entre ces points. 7. La pente d’une tangente en un point $x=a$ est le taux de variation instantané, donné par la dérivée $f'(a)$ : $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$ Ce taux décrit la variation immédiate de $y$ par rapport à $x$ en ce point précis. Réponse finale : Le degré et coefficient dominant caractérisent le polynôme. Le graphe permet de déterminer la fonction. Les transformations s’écrivent comme modifications de $f(x)$. Le taux de variation moyen est la pente de la sécante, et le taux instantané la pente de la tangente via la dérivée.