1. Énoncé du problème : On considère les fonctions $f(x) = \frac{9x - 10}{2x - 3}$ et $g(x) = x^3$. Nous devons déterminer la nature de la courbe $(C_f)$, ses éléments caractéristiques, et effectuer diverses analyses. 2. Nature de $(C_f)$ : $f$ est une fonction rationnelle de la forme $\frac{ax + b}{cx + d}$. 3. Éléments caractéristiques : - Domaine de définition : $2x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$. - Asymptotes verticales : $x = \frac{3}{2}$. - Asymptote horizontale : Calculons $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{9x - 10}{2x - 3} = \frac{9}{2}$. - Asymptote horizontale : $y = \frac{9}{2}$. 4. Tableau de variations de $f$ : - Calcul de la dérivée $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{(9)(2x - 3) - (9x - 10)(2)}{(2x - 3)^2} = \frac{18x - 27 - 18x + 20}{(2x - 3)^2} = \frac{-7}{(2x - 3)^2}$$ - Le dénominateur est toujours positif sauf en $x=\frac{3}{2}$ où la fonction n'est pas définie. - Donc $f'(x) < 0$ pour tout $x \neq \frac{3}{2}$. - $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty, \frac{3}{2}[$ et $]\frac{3}{2}, +\infty[$. 5. Tableau de variations de $g(x) = x^3$ : - Dérivée $g'(x) = 3x^2 \geq 0$. - $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 6. Vérification des points d'intersection $A(1,1)$ et $B(2,8)$ : - Pour $f(1) = \frac{9(1) - 10}{2(1) - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$ donc $A$ appartient à $(C_f)$. - Pour $g(1) = 1^3 = 1$ donc $A$ appartient à $(C_g)$. - Pour $f(2) = \frac{18 - 10}{4 - 3} = \frac{8}{1} = 8$ donc $B$ appartient à $(C_f)$. - Pour $g(2) = 2^3 = 8$ donc $B$ appartient à $(C_g)$. - Les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ sont concourantes en $A$ et $B$. 7. Résolution graphique de $f(x) - g(x) \geq 0$ : - On cherche $\frac{9x - 10}{2x - 3} - x^3 \geq 0$. - Cette inégalité correspond aux zones où la courbe $(C_f)$ est au-dessus ou égale à $(C_g)$. 8. Résolution graphique de $f(x) \geq 8$ : - On cherche les $x$ tels que $\frac{9x - 10}{2x - 3} \geq 8$. 9. Résolution algébrique de $f(x) \geq 8$ : - $\frac{9x - 10}{2x - 3} \geq 8$. - Multiplier par $2x - 3$ en considérant le signe : - Si $2x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$ : $$9x - 10 \geq 8(2x - 3) \Rightarrow 9x - 10 \geq 16x - 24 \Rightarrow -7x \geq -14 \Rightarrow x \leq 2$$ - Si $2x - 3 < 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2}$ : $$9x - 10 \leq 8(2x - 3) \Rightarrow 9x - 10 \leq 16x - 24 \Rightarrow -7x \leq -14 \Rightarrow x \geq 2$$ - Résultat : - Pour $x > \frac{3}{2}$, $x \leq 2$ donc $x \in ]\frac{3}{2}, 2]$. - Pour $x < \frac{3}{2}$, $x \geq 2$ est impossible. - Donc $f(x) \geq 8$ pour $x \in ]\frac{3}{2}, 2]$. 10. Image par $f$ des intervalles : - Pour $]\frac{3}{2}, +\infty[$ : $f$ est décroissante de $+\infty$ (limite à droite de $\frac{3}{2}$) vers $\frac{9}{2}$. - Pour $]-\infty, \frac{3}{2}[$ : $f$ est décroissante de $-\infty$ (limite à gauche de $\frac{3}{2}$) vers $\frac{9}{2}$. Réponse finale : - $(C_f)$ est une hyperbole rationnelle avec asymptote verticale $x=\frac{3}{2}$ et horizontale $y=\frac{9}{2}$. - $f$ est strictement décroissante sur ses deux intervalles de définition. - $g$ est strictement croissante. - Les courbes se coupent en $A(1,1)$ et $B(2,8)$. - $f(x) \geq 8$ pour $x \in ]\frac{3}{2}, 2]$. - L'image de $]\frac{3}{2}, +\infty[$ par $f$ est $]-\infty, \frac{9}{2}[$ et celle de $]-\infty, \frac{3}{2}[$ est $]-\infty, \frac{9}{2}[$.