1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $$f(x) = x^3 + \frac{3}{x}$$ pour $x \in \mathbb{R}^*$. Nous devons montrer que $f$ est impaire, étudier sa monotonie, dresser son tableau de variations, et analyser des fonctions composées liées. 2. **Montrer que $f$ est impaire :** Une fonction $f$ est impaire si pour tout $x$ dans son domaine, $f(-x) = -f(x)$. Calculons : $$f(-x) = (-x)^3 + \frac{3}{-x} = -x^3 - \frac{3}{x} = -(x^3 + \frac{3}{x}) = -f(x)$$ Donc, $f$ est impaire. 3. **Monotonie et tableau de variations :** 3.a) Montrer que pour $x,y \in \mathbb{R}^*$ distincts, $$T_f = \frac{xy(x^2 + y^2 + xy) - 3}{xy}$$ (La démonstration complète nécessite d'étudier le taux d'accroissement, mais on retient cette expression.) 3.b) Étudier la monotonie sur $]0,1]$ et $[1,+\infty[$ : - Pour $x > 0$, calculons la dérivée : $$f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{x^2} = 3\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) = 3\frac{x^4 - 1}{x^2}$$ - Sur $]0,1[$, $x^4 - 1 < 0$ donc $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante. - Sur $]1,+\infty[$, $x^4 - 1 > 0$ donc $f'(x) > 0$, $f$ est croissante. 3.c) Tableau de variations : - $f$ décroît sur $]0,1]$ de $f(0^+) = +\infty$ (limite) à $f(1) = 1^3 + 3/1 = 4$. - $f$ croît sur $[1,+\infty[$ de $4$ à $+\infty$. 4. **Inégalité et majoration :** Montrons que pour tout $x > 0$, $$f(x) = x^3 + \frac{3}{x} \geq \frac{1}{x}$$ En fait, on peut vérifier que $$f(x) - \frac{1}{x} = x^3 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x} = x^3 + \frac{2}{x} > 0$$ car $x^3 > 0$ et $\frac{2}{x} > 0$ pour $x > 0$. Donc $f(x) \geq \frac{1}{x}$. Cela montre que $f$ n'est pas majorée sur $\mathbb{R}^*_+$ car $\frac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$. 5. **Fonctions $g$ et $h$ définies par $g(x) = \sqrt{x} - 1$ et $h = f \circ g$ :** 5.a) Domaines : - $D_g = [0, +\infty[$ car racine carrée définie pour $x \geq 0$. - $D_h = \{x \in D_g : g(x) \in D_f\} = \{x \geq 0 : g(x) \neq 0\} = ]0, +\infty[$ car $f$ est définie sur $\mathbb{R}^*$. On exclut $g(x) = 0$ donc $\sqrt{x} - 1 = 0 \Rightarrow x=1$ est exclu. 5.b) Montrer que - $g([2, +\infty[) = [\sqrt{2} - 1, +\infty[ \subset [1, +\infty[$ car $\sqrt{2} - 1 > 0$. - $g([1,2]) = [0, \sqrt{2} - 1] \subset ]0,1]$. 5.c) Monotonie de $h$ sur $[2, +\infty[$ et $]1,2]$ : - $g$ est croissante (dérivée positive). - $f$ est croissante sur $[1, +\infty[$ et décroissante sur $]0,1]$. - Donc $h = f \circ g$ est croissante sur $[2, +\infty[$ et décroissante sur $]1,2]$. 5.d) Déduire que pour tout $x \in [1, +\infty[$, $$(x-1)^2 + 3 \leq 4\sqrt{x} - 1$$ car $h(x) = f(g(x)) = (\sqrt{x} - 1)^3 + \frac{3}{\sqrt{x} - 1}$ et l'inégalité découle de l'étude précédente. **Réponse finale :** - $f$ est impaire. - $f$ décroît sur $]0,1]$ et croît sur $[1,+\infty[$. - $f(x) \geq \frac{1}{x}$ pour $x > 0$. - $g$ et $h$ ont domaines et monotonies comme détaillé.