1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$g(x) = \frac{2x - 1}{x^2} e^{2x}.$$ On étudie ses limites, dérivée, variations, racines, tangente en $x=\frac{1}{2}$, puis on calcule une primitive et une aire. 2. **Limite en 0 et asymptote :** Calculons $\lim_{x \to 0^+} g(x)$. $$g(x) = \frac{2x - 1}{x^2} e^{2x} = e^{2x} \times \frac{2x - 1}{x^2}.$$ Quand $x \to 0^+$, $e^{2x} \to 1$. Le terme $\frac{2x - 1}{x^2} = \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}$ diverge vers $-\infty$ car $-\frac{1}{x^2}$ domine et est négatif. Donc $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty.$$ Cela signifie que la droite d'équation $x=0$ est une asymptote verticale à la courbe $C$. 3. **Limite en $+\infty$ :** On donne la forme $$g(x) = 4 \left(1 - \frac{1}{2x}\right) \times \frac{e^{2x}}{2(2x^2)}.$$ Pour $x \to +\infty$, $1 - \frac{1}{2x} \to 1$, $2x^2 \to +\infty$, et $e^{2x} \to +\infty$ très rapidement. Donc $g(x) \sim \frac{4 e^{2x}}{4 x^2} = \frac{e^{2x}}{x^2} \to +\infty$. Ainsi, $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty.$$ 4. **Dérivée de $g$ :** On montre que pour tout $x > 0$, $$g'(x) = \frac{(-2x + 1)}{x^3} e^{2x}.$$ 5. **Sens de variation :** Le signe de $g'(x)$ dépend de $-2x + 1$ car $x^3 > 0$ et $e^{2x} > 0$ pour $x > 0$. - Si $x < \frac{1}{2}$, alors $-2x + 1 > 0$ donc $g'(x) > 0$ (croissante). - Si $x > \frac{1}{2}$, alors $-2x + 1 < 0$ donc $g'(x) < 0$ (décroissante). 6. **Tableau de variation :** \begin{tabular}{c|ccc} $x$ & $0^+$ & $\frac{1}{2}$ & $+\infty$ \\ \hline $g'(x)$ & $+$ & $0$ & $-$ \\ $g(x)$ & $-\infty$ & $g(\frac{1}{2})$ & $+\infty$ \\ \end{tabular} Calculons $g(\frac{1}{2})$ : $$g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \times \frac{1}{2} - 1}{(\frac{1}{2})^2} e^{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{1 - 1}{\frac{1}{4}} e^{1} = 0.$$ Donc $g$ atteint un maximum local nul en $x=\frac{1}{2}$. 7. **Résolution de $g(x) = 0$ et signe de $g$ :** $$g(x) = 0 \iff \frac{2x - 1}{x^2} e^{2x} = 0.$$ Comme $e^{2x} > 0$ toujours, on a $$2x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}.$$ Pour $x < \frac{1}{2}$, $2x - 1 < 0$ donc $g(x) < 0$. Pour $x > \frac{1}{2}$, $2x - 1 > 0$ donc $g(x) > 0$. 8. **Équation de la tangente en $x=\frac{1}{2}$ :** La tangente $T$ a pour équation $$y = g\left(\frac{1}{2}\right) + g'\left(\frac{1}{2}\right) \left(x - \frac{1}{2}\right).$$ Calculons $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ : $$g'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{-2 \times \frac{1}{2} + 1}{(\frac{1}{2})^3} e^{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{-1 + 1}{\frac{1}{8}} e^{1} = 0.$$ Donc la tangente est horizontale : $$y = 0.$$ 9. **Primitive $H$ de $g$ :** On a $$H(x) = \int g(x) dx = \int \frac{2x - 1}{x^2} e^{2x} dx.$$ Calculons $H'(x)$ : $$H'(x) = g(x).$$ Une primitive est donnée par $$H(x) = \frac{e^{2x}}{x} + C,$$ car $$H'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{2x}}{x} \right) = \frac{2 e^{2x} x - e^{2x}}{x^2} = \frac{e^{2x} (2x - 1)}{x^2} = g(x).$$ 10. **Primitive vérifiant $H(1) = e^2$ :** On impose $$H(1) = \frac{e^{2 \times 1}}{1} + C = e^2 + C = e^2,$$ donc $$C = 0.$$ La primitive cherchée est $$H(x) = \frac{e^{2x}}{x}.$$ 11. **Calcul de l'aire entre $x=\frac{1}{2}$ et $x=1$ :** L'aire sous la courbe $C$ et au-dessus de l'axe des abscisses est $$A = \int_{\frac{1}{2}}^{1} g(x) dx = H(1) - H\left(\frac{1}{2}\right) = e^2 - \frac{e^{1}}{\frac{1}{2}} = e^2 - 2e.$$ En unités graphiques, 1 cm en ordonnée, 8 cm en abscisse, l'aire en cm² est $$A_{cm^2} = A \times (8) \times (1) = 8 (e^2 - 2e).$$ **Réponse finale :** - Asymptote verticale : $x=0$. - Limite en $+\infty$ : $+\infty$. - Maximum local nul en $x=\frac{1}{2}$. - Racine en $x=\frac{1}{2}$. - Tangente horizontale $y=0$ en $x=\frac{1}{2}$. - Primitive $H(x) = \frac{e^{2x}}{x}$. - Aire entre $x=\frac{1}{2}$ et $x=1$ vaut $8(e^2 - 2e)$ cm².