1. Énonçons le problème : Étudier une fonction, ce qui implique déterminer domaine, dérivée, points critiques, variations, extremums, et éventuellement asymptotes. 2. Pour avancer, veuillez préciser la fonction dont vous souhaitez l'étude. 3. À défaut de précision, prenons un exemple simple : $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$. 4. Calculons la dérivée : $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$. 5. Cherchons les points critiques en résolvant : $$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x = 2$$. 6. Étudions le signe de $$f'(x)$$ pour déterminer le sens de variation : - Pour $$x < 0$$, $$f'(x) > 0$$, fonction croissante. - Entre $$0$$ et $$2$$, $$f'(x) < 0$$, fonction décroissante. - Pour $$x > 2$$, $$f'(x) > 0$$, fonction croissante. 7. Évaluons la fonction en ces points critiques : - $$f(0) = 0 - 0 + 2 = 2$$. - $$f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$$. 8. Conclusion : - Point $(0,2)$ est un maximum local. - Point $(2,-2)$ est un minimum local. 9. Le graphique de $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$ montre ces variations et extremums.