1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$g(x) = \frac{2x - 1}{x^2} e^{2x}.$$ Nous allons étudier ses limites, dérivée, variations, résoudre $g(x) = 0$, trouver l'équation de la tangente en $x=\frac{1}{2}$, et calculer une aire. 2. **Limite en 0 et asymptote :** Calculons $\lim_{x \to 0^+} g(x)$. On a $$g(x) = \frac{2x - 1}{x^2} e^{2x} = e^{2x} \times \frac{2x - 1}{x^2}.$$ Quand $x \to 0^+$, $e^{2x} \to 1$. Le terme $\frac{2x - 1}{x^2} = \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}$ diverge vers $-\infty$ car $-\frac{1}{x^2}$ domine et est négatif. Donc $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty.$$ Cela signifie que la droite d'équation $x=0$ est une asymptote verticale à la courbe $C$. 3. **Limite en $+\infty$ :** On peut écrire $$g(x) = 4 \left(1 - \frac{1}{2x}\right) \times \frac{e^{2x}}{2(2x^2)}.$$ Pour $x \to +\infty$, $1 - \frac{1}{2x} \to 1$ et $\frac{e^{2x}}{2(2x^2)} = \frac{e^{2x}}{4x^2}$ qui tend vers $+\infty$ très rapidement. Donc $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty.$$ 4. **Dérivée de $g$ :** On montre que pour tout $x > 0$, $$g'(x) = \frac{(-2x + 1)}{x^3} e^{2x}.$$ 5. **Sens de variation :** Le signe de $g'(x)$ dépend de $-2x + 1$ car $x^3 > 0$ et $e^{2x} > 0$ pour $x > 0$. - Si $x < \frac{1}{2}$, alors $-2x + 1 > 0$ donc $g'(x) > 0$ (croissante). - Si $x > \frac{1}{2}$, alors $-2x + 1 < 0$ donc $g'(x) < 0$ (décroissante). 6. **Tableau de variation :** \begin{tabular}{c|ccc} $x$ & $0^+$ & $\frac{1}{2}$ & $+\infty$ \\ \hline $g'(x)$ & $+$ & $0$ & $-$ \\ $g(x)$ & $-\infty$ & $g(\frac{1}{2})$ & $+\infty$ \\ \end{tabular} Calculons $g(\frac{1}{2})$ : $$g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \times \frac{1}{2} - 1}{(\frac{1}{2})^2} e^{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{1 - 1}{\frac{1}{4}} e^{1} = 0.$$ Donc $g$ atteint un maximum local nul en $x=\frac{1}{2}$. 7. **Résolution de $g(x) = 0$ et signe de $g$ :** $$g(x) = 0 \iff \frac{2x - 1}{x^2} e^{2x} = 0.$$ Comme $e^{2x} > 0$ pour tout $x$, on a $$2x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}.$$ Pour $x \in ]0; +\infty[$ : - Si $x < \frac{1}{2}$, $2x - 1 < 0$ donc $g(x) < 0$. - Si $x > \frac{1}{2}$, $2x - 1 > 0$ donc $g(x) > 0$. 8. **Équation de la tangente en $x=\frac{1}{2}$ :** La tangente $T$ en $x=\frac{1}{2}$ a pour équation $$y = g\left(\frac{1}{2}\right) + g'\left(\frac{1}{2}\right) \left(x - \frac{1}{2}\right).$$ Calculons $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ : $$g'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{-2 \times \frac{1}{2} + 1}{(\frac{1}{2})^3} e^{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{-1 + 1}{\frac{1}{8}} e^{1} = 0.$$ Donc la tangente est horizontale : $$y = 0.$$ 9. **Fonction $H$ et primitives :** Soit $$H(x) = \frac{1}{2x^2} e^{2x}.$$ Calculons $H'(x)$ : $$H'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2x^2} e^{2x} \right) = e^{2x} \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2x^2} \right) + \frac{1}{2x^2} \frac{d}{dx} (e^{2x}).$$ On a $$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2x^2} \right) = -\frac{2}{2x^3} = -\frac{1}{x^3},$$ $$\frac{d}{dx} (e^{2x}) = 2 e^{2x}.$$ Donc $$H'(x) = e^{2x} \left(-\frac{1}{x^3}\right) + \frac{1}{2x^2} \times 2 e^{2x} = e^{2x} \left(-\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2} \right) = e^{2x} \frac{-1 + x}{x^3} = g(x).$$ Ainsi, $$H'(x) = g(x).$$ Les primitives de $g$ sur $]0; +\infty[$ sont donc $$G(x) = H(x) + C = \frac{1}{2x^2} e^{2x} + C,$$ avec $C \in \mathbb{R}$. 10. **Primitive vérifiant $G(1) = e^2$ :** $$G(1) = \frac{1}{2 \times 1^2} e^{2 \times 1} + C = \frac{1}{2} e^{2} + C = e^{2}.$$ Donc $$C = e^{2} - \frac{1}{2} e^{2} = \frac{1}{2} e^{2}.$$ La primitive cherchée est $$G(x) = \frac{1}{2x^2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{2}.$$ 11. **Calcul de l'aire entre $x=\frac{1}{2}$ et $x=1$ :** L'aire $A$ sous la courbe $C$ au-dessus de l'axe des abscisses entre $x=\frac{1}{2}$ et $x=1$ est $$A = \int_{\frac{1}{2}}^{1} g(x) \, dx = G(1) - G\left(\frac{1}{2}\right).$$ Calculons $$G(1) = e^{2}$$ $$G\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2})^2} e^{2 \times \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} e^{2} = \frac{1}{2 \times \frac{1}{4}} e^{1} + \frac{1}{2} e^{2} = 2 e + \frac{1}{2} e^{2}.$$ Donc $$A = e^{2} - \left(2 e + \frac{1}{2} e^{2}\right) = e^{2} - 2 e - \frac{1}{2} e^{2} = \frac{1}{2} e^{2} - 2 e.$$ 12. **Conversion en cm² :** L'unité graphique est 8 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée. L'aire en unités graphiques est $A$. L'aire en cm² est $$A_{cm^2} = A \times (8) \times (1) = 8 \times \left(\frac{1}{2} e^{2} - 2 e\right) = 4 e^{2} - 16 e.$$ **Réponses finales :** - Asymptote verticale : $x=0$. - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. - $g$ croissante sur $]0, \frac{1}{2}[$, décroissante sur $]\frac{1}{2}, +\infty[$. - $g(x) = 0$ pour $x=\frac{1}{2}$. - Tangente en $x=\frac{1}{2}$ : $y=0$. - Primitive de $g$ avec $G(1) = e^{2}$ : $G(x) = \frac{1}{2x^2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{2}$. - Aire entre $x=\frac{1}{2}$ et $x=1$ en cm² : $4 e^{2} - 16 e$.