1. Énonçons le problème : expliciter la différence entre \textbf{développement limité} et \textbf{limite}. 2. \textbf{Définition de limite} : la limite d'une fonction $f(x)$ en un point $a$ est la valeur que $f(x)$ approche lorsque $x$ s'approche de $a$, notée $$\lim_{x \to a} f(x) = L.$$ Cela décrit le comportement local de la fonction près de $a$. 3. \textbf{Définition de développement limité} (ou série de Taylor-Young) : c'est une approximation polynomiale de la fonction $f(x)$ autour d'un point $a$, permettant d'exprimer $f(x)$ sous forme $$f(x) = P_n(x) + o((x-a)^n),$$ où $P_n(x)$ est un polynôme de degré $n$ qui fournit une meilleure approximation de $f$ près de $a$ que la simple limite. 4. \textbf{Différence clé} : la limite donne une valeur unique approchée lorsque $x$ approche $a$, tandis que le développement limité donne une expression détaillée qui décrit comment $f(x)$ se rapproche de cette limite avec des termes supplémentaires en puissances de $(x-a)$. 5. Par exemple, si $f(x) = e^x$, alors - Limite en 0 : $$\lim_{x \to 0} e^x = 1,$$ - Développement limité en 0 à l'ordre 2 : $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2).$$ 6. Le développement limité est donc une généralisation plus informative qui contient la limite comme premier terme mais donne aussi la vitesse d'approche à travers les termes suivants.