1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction de deux variables réelles $f(x_1,x_2) = 2x_1^2 + 5x_2^2$. Nous devons trouver la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x_1$, notée $\frac{\partial f}{\partial x_1}$. 2. **Rappel de la définition :** La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x_1$ en un point $(x_1,x_2)$ est la limite $$\frac{\partial f}{\partial x_1} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1 + h, x_2) - f(x_1, x_2)}{h}$$ Cela signifie que nous dérivons $f$ en considérant $x_2$ comme une constante. 3. **Calcul de la dérivée partielle :** $$f(x_1,x_2) = 2x_1^2 + 5x_2^2$$ En dérivant par rapport à $x_1$ : $$\frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1}(2x_1^2) + \frac{\partial}{\partial x_1}(5x_2^2)$$ Puisque $x_2$ est constant, $\frac{\partial}{\partial x_1}(5x_2^2) = 0$. 4. **Dérivation de chaque terme :** $$\frac{\partial}{\partial x_1}(2x_1^2) = 2 \times 2x_1 = 4x_1$$ 5. **Conclusion :** La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x_1$ est $$\boxed{\frac{\partial f}{\partial x_1} = 4x_1}$$ Cette dérivée nous indique comment la fonction $f$ change lorsque seule la variable $x_1$ varie, en gardant $x_2$ fixe.