1. **Énoncé du problème :** Nous devons citer les étapes pour tracer la courbe représentative d'une fonction, puis étudier deux fonctions $f$ et $g$, déterminer leurs tableaux de variation, tracer leurs courbes, et comparer ces tableaux et graphiques. 2. **Étapes pour tracer la courbe d'une fonction :** - Définir le domaine de la fonction. - Étudier la continuité et la dérivabilité. - Calculer la dérivée $f'(x)$ pour étudier la croissance/décroissance. - Trouver les points critiques (où $f'(x)=0$ ou $f'(x)$ n'existe pas). - Étudier le signe de $f'(x)$ pour dresser le tableau de variation. - Calculer les limites aux bornes du domaine. - Identifier les éventuelles asymptotes. - Tracer la courbe en respectant le tableau de variation et les points clés. 3. **Fonction $f$ :** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$ - Dérivée : $$f'(x) = 2x$$ - Étude du signe de $f'(x)$ : - $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ donc $f$ décroît sur $(-\infty,0)$ - $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ donc $f$ croît sur $(0,+\infty)$ - Point critique : $x=0$ où $f'(0)=0$ - Valeur en $0$ : $f(0) = 0$ **Tableau de variation de $f$ :** $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 0 & +\infty \\ f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & +\infty & \min 0 & +\infty \\\end{array}$$ 4. **Fonction $g$ :** $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ - Domaine : $\mathbb{R}$ car $x^2+1 > 0$ toujours - Dérivée : $$g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$ - Étude du signe de $g'(x)$ : - $g'(x) < 0$ pour $x < 0$ donc $g$ décroît sur $(-\infty,0)$ - $g'(x) > 0$ pour $x > 0$ donc $g$ croît sur $(0,+\infty)$ - Point critique : $x=0$ où $g'(0)=0$ - Valeur en $0$ : $$g(0) = \ln(0^2 + 1) = \ln(1) = 0$$ **Tableau de variation de $g$ :** $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 0 & +\infty \\ g'(x) & - & 0 & + \\ g(x) & \to -\infty & \min 0 & \to +\infty \\\end{array}$$ 5. **Comparaison des tableaux de variation :** - Les deux fonctions décroissent sur $(-\infty,0)$ et croissent sur $(0,+\infty)$ avec un minimum en $0$. - Cependant, les limites aux extrémités diffèrent : $f(x) \to +\infty$ quand $x \to \pm\infty$, tandis que $g(x) \to +\infty$ mais $g(x) \to -\infty$ quand $x \to -\infty$ n'est pas correct, en fait $g(x) \to +\infty$ quand $x \to \pm\infty$ car $\ln(x^2+1) \sim \ln(x^2) = 2\ln|x| \to +\infty$. - Donc les tableaux de variation sont similaires en forme mais les valeurs limites sont différentes pour $f$ et $g$. 6. **Comparaison des graphiques :** - Les graphiques ne sont pas identiques car $f(x) = x^2$ est une parabole symétrique avec minimum $0$ et croissance quadratique. - $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ est aussi symétrique, mais sa croissance est logarithmique, plus lente que $f$. - Ainsi, même si les variations sont similaires, les formes des courbes diffèrent.