1. **Énoncé du problème :** Construire la courbe (C) de la fonction $f$ dont la dérivée $f'(x)$ est donnée par le tableau de signes et variations. 2. **Données importantes :** - $f'(x)$ change de signe aux points $x=-2, -1, 0, 4$. - $f(x)$ tend vers $-\\infty$ quand $x \to -\\infty$. - La droite $(\Delta): y = -x - 3$ est une asymptote oblique de $(C)$ au voisinage de $-\\infty$. - $f(x)$ a des variations indiquées par le tableau : - Croissante sur $(-\\infty, -2)$ - Décroissante sur $(-2, -1)$ - Décroissante sur $(-1, 0)$ - Décroissante sur $(0, 3)$ - Croissante sur $(4, +\\infty)$ 3. **Construction de la courbe $(C)$ :** - Sur $(-\\infty, -2)$, $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante, partant de $-\\infty$ et tend vers une valeur finie ou $+\\infty$. - En $x=-2$, $f'(x)=0$ (point critique), $f$ atteint un maximum local. - Entre $-2$ et $-1$, $f'(x) < 0$, $f$ décroît. - En $x=-1$, $f'(x)=-1$ (nulle), $f$ atteint un minimum local. - Entre $-1$ et $0$, $f'(x) < 0$, $f$ décroît vers $-\\infty$. - Entre $0$ et $3$, $f'(x) < 0$, $f$ décroît vers $-2$. - En $x=4$, $f'(x)=0$, $f$ atteint un minimum local. - Pour $x > 4$, $f'(x) > 0$, $f$ croît vers $+3$. 4. **Asymptote oblique :** Au voisinage de $-\\infty$, $f(x) \sim -x - 3$, donc la courbe $(C)$ se rapproche de la droite $y = -x - 3$. 5. **Construction de $(C_g)$ telle que $g(x) = f(|x|)$ :** - Pour $x \geq 0$, $g(x) = f(x)$. - Pour $x < 0$, $g(x) = f(-x)$. - La courbe $(C_g)$ est donc la symétrie de $(C)$ par rapport à l'axe des ordonnées pour $x < 0$. 6. **Discussion du nombre de solutions de $f(x) = m$ selon $m \in \mathbb{R}$ :** - Pour $m < -2$, il y a 1 solution (sur $(-\\infty, -2)$). - Pour $m = -2$, il y a 2 solutions (minimum local). - Pour $-2 < m < 0$, il y a 3 solutions (une sur $(-\\infty, -2)$, deux autres entre $0$ et $4$). - Pour $0 \leq m < 3$, il y a 2 solutions. - Pour $m = 3$, il y a 1 solution (limite à $+\\infty$). - Pour $m > 3$, il n'y a aucune solution. **Réponse finale :** La courbe $(C)$ est construite selon les variations de $f$ et l'asymptote oblique donnée. La courbe $(C_g)$ est la symétrie de $(C)$ par rapport à l'axe des ordonnées pour $x<0$. Le nombre de solutions de $f(x) = m$ dépend de $m$ comme expliqué ci-dessus.