1. Problème 11 : Soit la fonction $f(x,y) = 2x^2 + xy + (y - 7)^2 + 5$ et le point critique $l = (2,8)$. On cherche à déterminer la nature de l'extrémum en $l = (-2,8)$. Formule : Pour un point critique $(x_0,y_0)$, on étudie la matrice Hessienne $H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$. Calcul des dérivées secondes : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2.$$ Matrice Hessienne : $$H = \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Déterminant de $H$ : $$\det(H) = 4 \times 2 - 1 \times 1 = 8 - 1 = 7 > 0,$$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4 > 0$, donc $H$ est définie positive. Conclusion : $l = (-2,8)$ est un minimum local de $f$. La réponse correcte est B. 2. Problème 12 : Soit $f(x,y) = 2x^2 + 2y^2$. Calculer $\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)$. Dérivées partielles : $$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 4y.$$ Évaluation en $(1,1)$ : $$4 \times 1 + 4 \times 1 = 4 + 4 = 8.$$ Aucune des réponses proposées ne vaut 8, donc la réponse correcte est E. 3. Problème 13 : Développement limité à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = (4x^2 + 2x + 1)^2$. Développons : $$f(x) = (4x^2 + 2x + 1)^2 = (1 + 2x + 4x^2)^2 = 1 + 4x + 12x^2 + o(x^2).$$ La réponse correcte est A. 4. Problème 14 : Affirmations sur les limites et signes des fonctions. A. Faux, une fonction strictement croissante et positive sur $[0,+\infty[$ peut tendre vers une limite finie. B. Vrai, si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, alors pour $x$ assez grand, $f(x)$ est proche de 0 et de même signe. C. Vrai, même raisonnement pour limite $-1$. D. Faux, car B et C sont vraies. E. Vrai, même raisonnement pour limite en $-\infty$. Réponses correctes : B, C, E. 5. Problème 15 : Développement de $\sin(x)$ au voisinage de 0 est $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^4).$$ La dérivée troisième en 0 est donnée par $$\sin^{(3)}(0) = -3! \times \text{coefficient de } x^3 = -3! \times \left(-\frac{1}{3!}\right) = 1.$$ La réponse correcte est B. Final : Réponses : 11) B, 12) E, 13) A, 14) B, C, E, 15) B.