1. Énoncé du problème : Nous avons deux fonctions : $$f(x) = \frac{9x - 10}{2x - 3}$$ $$g(x) = x^3$$ Nous devons analyser la nature de la courbe $(C_f)$, dresser les tableaux de variations, vérifier les points d'intersection, tracer les courbes, et résoudre des inéquations graphiquement et algébriquement. 2. Nature de $(C_f)$ et éléments caractéristiques : - $f$ est une fonction rationnelle de la forme $\frac{ax + b}{cx + d}$. - La courbe $(C_f)$ est une hyperbole. - Domaine de définition : $x \neq \frac{3}{2}$ (car dénominateur nul). - Asymptotes : - Verticale : $x = \frac{3}{2}$ - Horizontale : calcul de la limite en $\pm \infty$ : $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{9x - 10}{2x - 3} = \frac{9}{2}$$ Donc asymptote horizontale $y = \frac{9}{2}$. 3. Tableaux de variations de $f$ et $g$ : - Dérivée de $f$ : $$f'(x) = \frac{(9)(2x - 3) - (9x - 10)(2)}{(2x - 3)^2} = \frac{18x - 27 - 18x + 20}{(2x - 3)^2} = \frac{-7}{(2x - 3)^2}$$ - Comme le dénominateur est toujours positif sauf en $x=\frac{3}{2}$, et le numérateur est négatif, $f'(x) < 0$ partout sur le domaine. - Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty, \frac{3}{2}[$ et $]\frac{3}{2}, +\infty[$. - Pour $g(x) = x^3$, dérivée : $$g'(x) = 3x^2 \geq 0$$ - $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 4. Vérification des points d'intersection $A(1,1)$ et $B(2,8)$ : - Pour $A(1,1)$ : $$f(1) = \frac{9(1) - 10}{2(1) - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$$ $$g(1) = 1^3 = 1$$ - Pour $B(2,8)$ : $$f(2) = \frac{18 - 10}{4 - 3} = \frac{8}{1} = 8$$ $$g(2) = 2^3 = 8$$ Les points $A$ et $B$ appartiennent bien aux deux courbes. 5. Résolution graphique de $f(x) - g(x) \geq 0$ : - On cherche les $x$ tels que $$\frac{9x - 10}{2x - 3} - x^3 \geq 0$$ - Graphiquement, ce sont les $x$ où $(C_f)$ est au-dessus ou sur $(C_g)$. 6. Résolution graphique de $f(x) \geq 8$ : - Trouver les $x$ tels que $$\frac{9x - 10}{2x - 3} \geq 8$$ - Graphiquement, les parties de $(C_f)$ au-dessus ou sur la droite $y=8$. 7. Résolution algébrique de $f(x) \geq 8$ : $$\frac{9x - 10}{2x - 3} \geq 8$$ Multiplions par $(2x - 3)^2 > 0$ (car on doit considérer le signe de $2x - 3$) : - Cas 1 : $2x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$ $$9x - 10 \geq 8(2x - 3)$$ $$9x - 10 \geq 16x - 24$$ $$-7x \geq -14$$ $$x \leq 2$$ Donc sur $]\frac{3}{2}, +\infty[$, solution $x \in ]\frac{3}{2}, 2]$. - Cas 2 : $2x - 3 < 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2}$ Inégalité inversée en multipliant par un négatif : $$9x - 10 \leq 8(2x - 3)$$ $$9x - 10 \leq 16x - 24$$ $$-7x \leq -14$$ $$x \geq 2$$ Mais $x < \frac{3}{2}$ et $x \geq 2$ est impossible. Donc solution algébrique finale : $$x \in ]\frac{3}{2}, 2]$$ 8. Image des intervalles par $f$ : - Pour $]\frac{3}{2}, +\infty[$ : $$\lim_{x \to \frac{3}{2}^+} f(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{9}{2}$$ Donc image est $]-\infty, \frac{9}{2}[$. - Pour $]-\infty, \frac{3}{2}[$ : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{9}{2}$$ $$\lim_{x \to \frac{3}{2}^-} f(x) = +\infty$$ Donc image est $]\frac{9}{2}, +\infty[$. Finalement, la fonction $f$ est décroissante sur chaque intervalle avec une discontinuité en $x=\frac{3}{2}$.