1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$ lorsque $x \to +\infty$ et $x \to 0^+$, puis interpréter ces résultats. 2. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** On a $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 = x(\sqrt{x}^2 - 4\sqrt{x} + 4) = x(x - 4\sqrt{x} + 4)$. Développons : $$f(x) = x^2 - 4x^{3/2} + 4x.$$ Quand $x \to +\infty$, le terme dominant est $x^2$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 3. **Calcul de $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$ :** On a $$\frac{f(x)}{x} = (\sqrt{x} - 2)^2 = x - 4\sqrt{x} + 4.$$ Quand $x \to 0^+$, $x \to 0$ et $\sqrt{x} \to 0$, donc $$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 4.$$ 4. **Interprétation :** La limite $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 4$ signifie que près de 0, $f(x)$ est équivalent à $4x$, ce qui suggère que la pente de la fonction en 0 est liée à 4. --- 1. **Énoncé du problème :** Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en 0 et interpréter graphiquement. 2. **Dérivabilité à droite en 0 :** La dérivée à droite en 0 est définie par $$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h}$$ car $f(0) = 0$ (puisque $f(0) = 0 \times (0 - 2)^2 = 0$). On a déjà calculé cette limite : $$f'_+(0) = 4.$$ Donc $f$ est dérivable à droite en 0 avec $f'_+(0) = 4$. 3. **Interprétation graphique :** La tangente à la courbe en 0 à droite a pour pente 4, ce qui signifie que la courbe monte assez rapidement à partir de 0. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que $f'(x) = 2(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 1)$ pour tout $x > 0$. 2. **Calcul de la dérivée :** On a $$f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 = x(x - 4\sqrt{x} + 4).$$ Développons : $$f(x) = x^2 - 4x^{3/2} + 4x.$$ Dérivons terme à terme : $$f'(x) = 2x - 6x^{1/2} + 4.$$ 3. **Factorisation de $f'(x)$ :** Posons $t = \sqrt{x}$, alors $x = t^2$ et $$f'(x) = 2t^2 - 6t + 4 = 2(t^2 - 3t + 2).$$ Factorisons le polynôme : $$t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2).$$ Donc $$f'(x) = 2(t - 1)(t - 2) = 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2).$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. 2. **Signe de $f'(x)$ :** Les racines de $f'(x)$ sont $x = 1$ et $x = 4$ (car $\sqrt{x} = 1$ ou $2$). Pour $x > 0$ : - Si $0 < x < 1$, alors $\sqrt{x} < 1$, donc $(\sqrt{x} - 1) < 0$ et $(\sqrt{x} - 2) < 0$, donc $f'(x) = 2 \times (-) \times (-) > 0$. - Si $1 < x < 4$, alors $1 < \sqrt{x} < 2$, donc $(\sqrt{x} - 1) > 0$ et $(\sqrt{x} - 2) < 0$, donc $f'(x) < 0$. - Si $x > 4$, alors $\sqrt{x} > 2$, donc $(\sqrt{x} - 1) > 0$ et $(\sqrt{x} - 2) > 0$, donc $f'(x) > 0$. 3. **Tableau de variations :** - $f$ est croissante sur $]0,1[$. - $f$ est décroissante sur $]1,4[$. - $f$ est croissante sur $]4,+\infty[$. **Résumé :** $$\begin{cases} f'(x) > 0 & \text{pour } x \in ]0,1[ \cup ]4,+\infty[ \\ f'(x) < 0 & \text{pour } x \in ]1,4[ \\ f'(1) = f'(4) = 0 & \text{points critiques} \end{cases}$$ --- **Conclusion :** La fonction $f$ croît de 0 à 1, décroît de 1 à 4, puis croît à nouveau après 4. **Réponse finale :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 4, \quad f'_+(0) = 4,$$ $$f'(x) = 2(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 1),$$ avec les variations de $f$ comme décrit ci-dessus.