1. **Énoncé du problème :** Analyser la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ avec une asymptote verticale en $x=0$ et une asymptote oblique $y=x-1$ aux deux infinis. 2. **Formules et règles importantes :** - Une asymptote verticale en $x=0$ signifie que la fonction tend vers $\pm \infty$ quand $x$ approche 0. - Une asymptote oblique $y=mx+b$ signifie que $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - (mx+b)) = 0$. - La fonction est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine. 3. **Analyse des asymptotes :** - Verticale : $x=0$. - Oblique : $y=x-1$. 4. **Point remarquable :** - Le point $(-1,-1)$ est sur la courbe, avec une tangente verticale. 5. **Comportement près de 0 :** - À gauche de 0, $f(x) \to +\infty$. - À droite de 0, $f(x) \to -\infty$. 6. **Interprétation et conclusion :** - La fonction ressemble à une hyperbole décalée. - La tangente verticale en $x=-1$ indique un point où la pente est infinie. - La fonction est strictement croissante sur $(-\infty,0)$ et $(0,+\infty)$. **Résumé :** La fonction a une asymptote verticale en $x=0$, une asymptote oblique $y=x-1$, un point remarquable $(-1,-1)$ avec tangente verticale, et est strictement croissante sur chaque portion de son domaine.