1. Énonçons le problème : On veut étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ pour déterminer si la fonction $f$ est strictement monotone, condition nécessaire pour appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI). 2. Rappel : Une fonction est strictement monotone croissante si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ dans l'intervalle considéré, et strictement monotone décroissante si $f'(x) < 0$ partout. 3. Pour étudier le signe de $f'(x)$, on suit ces étapes : - Calculer $f'(x)$ explicitement. - Trouver les points où $f'(x) = 0$ ou où $f'(x)$ n'est pas définie (points critiques). - Étudier le signe de $f'(x)$ sur les intervalles délimités par ces points critiques. 4. Pour cela, on peut factoriser $f'(x)$ si possible, ou utiliser un tableau de signes. 5. Exemple : Si $f'(x) = (x-1)(x+2)$, alors les points critiques sont $x=1$ et $x=-2$. - Sur $(-\infty, -2)$, testons $x=-3$ : $f'(-3) = (-3-1)(-3+2) = (-4)(-1) = 4 > 0$. - Sur $(-2,1)$, testons $x=0$ : $f'(0) = (0-1)(0+2) = (-1)(2) = -2 < 0$. - Sur $(1, +\infty)$, testons $x=2$ : $f'(2) = (2-1)(2+2) = (1)(4) = 4 > 0$. 6. Conclusion : $f'(x)$ change de signe, donc $f$ n'est pas strictement monotone sur tout $\mathbb{R}$. 7. En résumé, étudier le signe de $f'(x)$ revient à trouver ses racines, analyser les intervalles entre ces racines, et vérifier si $f'(x)$ garde un signe constant pour garantir la stricte monotonie de $f$.