1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $U$ définie par $U_1=4$ et $U_{n+1} = \frac{5U_n + 3}{U_n + 3}$ pour $n \geq 1$. On définit aussi la suite $v_n = \frac{U_n - 3}{U_n + 1}$. 2. **Étude graphique du sens de variation et convergence de $U$ :** La fonction associée est $f(x) = \frac{5x + 3}{x + 3}$. - Pour étudier la variation, on calcule la dérivée : $$f'(x) = \frac{(5)(x+3) - (5x+3)(1)}{(x+3)^2} = \frac{5x + 15 - 5x - 3}{(x+3)^2} = \frac{12}{(x+3)^2} > 0$$ - Donc $f$ est strictement croissante sur son domaine sauf en $x=-3$ où elle n'est pas définie. - Comme $U_1=4 > -3$, la suite reste dans l'intervalle où $f$ est croissante. - Pour la convergence, on cherche la limite $\ell$ telle que $\ell = f(\ell)$ : $$\ell = \frac{5\ell + 3}{\ell + 3} \Rightarrow \ell(\ell + 3) = 5\ell + 3 \Rightarrow \ell^2 + 3\ell = 5\ell + 3$$ $$\ell^2 - 2\ell - 3 = 0$$ $$ (\ell - 3)(\ell + 1) = 0 \Rightarrow \ell = 3 \text{ ou } \ell = -1$$ - Comme $U_1=4$ et $f$ est croissante, la suite $U_n$ converge vers $3$ (car $-1$ est exclu, voir question suivante). 3. **(a) Montrer que $U_n \neq -1$ pour tout $n$ :** - Supposons qu'il existe $n$ tel que $U_n = -1$. - Alors $U_{n+1} = \frac{5(-1) + 3}{-1 + 3} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. - Donc si $U_n = -1$, alors $U_{n+1} = -1$. - Or $U_1 = 4 \neq -1$, donc par récurrence $U_n \neq -1$ pour tout $n$. 4. **(b) Montrer que $v_n$ est géométrique, déterminer $v_1$ et la raison $q$ :** - On a $v_n = \frac{U_n - 3}{U_n + 1}$. - Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{U_{n+1} - 3}{U_{n+1} + 1} = \frac{\frac{5U_n + 3}{U_n + 3} - 3}{\frac{5U_n + 3}{U_n + 3} + 1} = \frac{\frac{5U_n + 3 - 3(U_n + 3)}{U_n + 3}}{\frac{5U_n + 3 + (U_n + 3)}{U_n + 3}} = \frac{5U_n + 3 - 3U_n - 9}{5U_n + 3 + U_n + 3}$$ $$= \frac{2U_n - 6}{6U_n + 6} = \frac{2(U_n - 3)}{6(U_n + 1)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{U_n - 3}{U_n + 1} = \frac{1}{3} v_n$$ - Donc $v_{n+1} = \frac{1}{3} v_n$, la suite $v_n$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$. - Calcul de $v_1$ : $$v_1 = \frac{U_1 - 3}{U_1 + 1} = \frac{4 - 3}{4 + 1} = \frac{1}{5}$$ 5. **(c) Exprimer $v_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$ :** - Puisque $v_n$ est géométrique : $$v_n = v_1 q^{n-1} = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$ - Rappel : $$v_n = \frac{U_n - 3}{U_n + 1} \Rightarrow v_n (U_n + 1) = U_n - 3$$ $$v_n U_n + v_n = U_n - 3$$ $$U_n - v_n U_n = v_n + 3$$ $$U_n (1 - v_n) = v_n + 3$$ $$U_n = \frac{v_n + 3}{1 - v_n}$$ - En remplaçant $v_n$ : $$U_n = \frac{\frac{1}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} + 3}{1 - \frac{1}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}$$ **Réponse finale :** - $U_n$ converge vers $3$. - $U_n \neq -1$ pour tout $n$. - $v_n$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et $v_1 = \frac{1}{5}$. - $v_n = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$. - $U_n = \frac{v_n + 3}{1 - v_n} = \frac{\frac{1}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} + 3}{1 - \frac{1}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}$.