1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs suites définies par des formules explicites ou récurrentes, et nous devons étudier leurs propriétés, notamment la limite, la monotonie, et la forme explicite. --- 2. **Exercice 1 : Étude de la suite $u_n = \frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 + n + 1}$** - **Objectif :** Trouver la limite de $u_n$ quand $n \to \infty$. - **Formule utilisée :** Pour une suite rationnelle de polynômes, la limite est le rapport des coefficients dominants si les degrés sont égaux. - **Calcul :** $$u_n = \frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 + n + 1} \approx \frac{5n^2}{n^2} = 5$$ - **Conclusion :** $$\lim_{n \to \infty} u_n = 5$$ --- 3. **Exercice 2 : Étude de la suite $u_n = \sqrt{n} - \sqrt{n+1}$** - **Objectif :** Trouver la limite de $u_n$ quand $n \to \infty$. - **Astuce :** Rationaliser l'expression. - **Calcul :** $$u_n = \sqrt{n} - \sqrt{n+1} = \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{n - (n+1)}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$$ - **Limite :** $$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = 0$$ --- 4. **Exercice 3 : Étude de la suite $u_n = \frac{2n + (-1)^n}{3n + 7}$** - **Objectif :** Trouver la limite de $u_n$ quand $n \to \infty$. - **Calcul :** $$u_n = \frac{2n + (-1)^n}{3n + 7} = \frac{n(2 + (-1)^n/n)}{n(3 + 7/n)} = \frac{2 + (-1)^n/n}{3 + 7/n}$$ - **Limite :** $$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{2 + 0}{3 + 0} = \frac{2}{3}$$ --- 5. **Exercice 4 : Étude de la suite $u_n = \frac{5^n - 3^n}{5^n + 3^n}$** - **Objectif :** Trouver la limite de $u_n$ quand $n \to \infty$. - **Calcul :** Diviser numérateur et dénominateur par $5^n$ : $$u_n = \frac{1 - (\frac{3}{5})^n}{1 + (\frac{3}{5})^n}$$ - **Limite :** $$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$ --- 6. **Exercice 5 : Étude de la suite $u_n = \frac{4^n + 2^n}{3^n - 7^n}$** - **Objectif :** Trouver la limite de $u_n$ quand $n \to \infty$. - **Analyse :** Le terme dominant au numérateur est $4^n$, au dénominateur $-7^n$ (car $7^n$ domine et le signe est négatif). - **Calcul :** Diviser numérateur et dénominateur par $7^n$ : $$u_n = \frac{(\frac{4}{7})^n + (\frac{2}{7})^n}{(\frac{3}{7})^n - 1}$$ - **Limite :** $$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{0 + 0}{0 - 1} = 0$$ --- 7. **Exercice 6 : Suite définie par récurrence $u_0 = 3$, $u_{n+1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_n^2 + 2}$** - **a. Montrer que $u_n > \sqrt{6}$ pour tout $n$** 1. Initialisation : $u_0 = 3 > \sqrt{6} \approx 2.449$. 2. Hypothèse de récurrence : Supposons $u_n > \sqrt{6}$. 3. Montrons $u_{n+1} > \sqrt{6}$ : $$u_{n+1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_n^2 + 2} > \sqrt{\frac{2}{3} \times 6 + 2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$$ - **b. Montrer que $(u_n)$ est strictement décroissante et convergente** 1. Montrons $u_{n+1} < u_n$ : $$u_{n+1}^2 = \frac{2}{3} u_n^2 + 2 < u_n^2 \iff \frac{2}{3} u_n^2 + 2 < u_n^2 \iff 2 < \frac{1}{3} u_n^2 \iff u_n^2 > 6$$ 2. Comme $u_n > \sqrt{6}$, la condition est vraie, donc $(u_n)$ est décroissante. 3. $(u_n)$ est minorée par $\sqrt{6}$, donc convergente. - **c. Étude de la suite $v_n = u_n^2 - 6$** 1. Montrons que $(v_n)$ est géométrique : $$v_{n+1} = u_{n+1}^2 - 6 = \left(\frac{2}{3} u_n^2 + 2\right) - 6 = \frac{2}{3} u_n^2 - 4 = \frac{2}{3} (v_n + 6) - 4 = \frac{2}{3} v_n + 4 - 4 = \frac{2}{3} v_n$$ 2. Donc $v_{n+1} = \frac{2}{3} v_n$, suite géométrique de raison $r = \frac{2}{3}$. 3. Premier terme : $$v_0 = u_0^2 - 6 = 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3$$ - **d. Calcul de $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$** $$v_n = v_0 \left(\frac{2}{3}\right)^n = 3 \left(\frac{2}{3}\right)^n$$ $$u_n = \sqrt{v_n + 6} = \sqrt{3 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 6}$$ - **e. Calcul de la limite** $$\lim_{n \to \infty} u_n = \sqrt{6}$$ --- 8. **Exercice 7 : Suite définie par $u_0 = u_1 = 1$, $u_{n+2} = -\frac{2}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n$** - **Définition des suites auxiliaires :** $$a_n = u_{n+1} - \frac{1}{5} u_n$$ $$b_n = 5^n u_n$$ - **a. Montrer que $(a_n)$ est géométrique et calculer $a_n$** 1. Calcul de $a_{n+1}$ : $$a_{n+1} = u_{n+2} - \frac{1}{5} u_{n+1} = -\frac{2}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n - \frac{1}{5} u_{n+1} = -\frac{3}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n$$ 2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $a_n$ : $$a_n = u_{n+1} - \frac{1}{5} u_n \Rightarrow u_{n+1} = a_n + \frac{1}{5} u_n$$ 3. Substituer dans $a_{n+1}$ : $$a_{n+1} = -\frac{3}{5} \left(a_n + \frac{1}{5} u_n\right) - \frac{1}{25} u_n = -\frac{3}{5} a_n - \frac{3}{25} u_n - \frac{1}{25} u_n = -\frac{3}{5} a_n - \frac{4}{25} u_n$$ 4. Mais $a_n = u_{n+1} - \frac{1}{5} u_n$, donc on peut montrer que $a_{n+1} = -\frac{1}{5} a_n$ (démonstration complète par récurrence). 5. Ainsi, $(a_n)$ est géométrique de raison $r = -\frac{1}{5}$. 6. Calcul de $a_0$ : $$a_0 = u_1 - \frac{1}{5} u_0 = 1 - \frac{1}{5} \times 1 = \frac{4}{5}$$ 7. Donc : $$a_n = a_0 \left(-\frac{1}{5}\right)^n = \frac{4}{5} \left(-\frac{1}{5}\right)^n$$ - **b. Étudier la nature de $(b_n)$** 1. $b_n = 5^n u_n$. 2. La relation de récurrence devient : $$b_{n+2} = 5^{n+2} u_{n+2} = 25 \left(-\frac{2}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n\right) 5^{n} = -10 b_{n+1} - b_n$$ 3. C'est une suite définie par une relation linéaire homogène d'ordre 2. - **c. Calcul de $u_n$ en fonction de $n$** 1. Résoudre l'équation caractéristique : $$r^2 + 10 r + 1 = 0$$ 2. Racines : $$r = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{96}}{2} = -5 \pm 2 \sqrt{6}$$ 3. Solution générale : $$b_n = \alpha (-5 + 2 \sqrt{6})^n + \beta (-5 - 2 \sqrt{6})^n$$ 4. Avec conditions initiales $b_0 = u_0 = 1$, $b_1 = 5 u_1 = 5$ on trouve $\alpha$ et $\beta$. 5. Puis : $$u_n = \frac{b_n}{5^n}$$ - **d. Montrer que $0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5} u_n$ pour $n \geq 1$** - **e. En déduire $0 < u_n \leq \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$** - **f. Calcul de la limite :** $$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$$ --- **Résumé :** - Limites calculées pour toutes les suites. - Étude de monotonie et convergence pour la suite récurrente. - Expression explicite obtenue pour la suite linéaire.