1. Problema: Demostrar propiedades del conjunto $T = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| = |y|\}$. 2. a) $T$ es cerrado. - Recordemos que un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos límite. - $T$ es la unión de dos líneas: $y = x$ y $y = -x$. - Ambas líneas son cerradas en $\mathbb{R}^2$ porque son imágenes continuas de funciones lineales. - La unión finita de conjuntos cerrados es cerrada. - Por lo tanto, $T$ es cerrado. 3. b) $T$ no es acotado. - Un conjunto es acotado si existe un número $M$ tal que para todo $(x,y) \in T$, $\sqrt{x^2 + y^2} \leq M$. - En $T$, podemos tomar puntos $(t,t)$ o $(t,-t)$ para $t$ arbitrariamente grande. - La norma $\sqrt{t^2 + t^2} = \sqrt{2} |t|$ crece sin límite. - Por lo tanto, $T$ no es acotado. 4. c) $T$ tiene interior vacío. - El interior de un conjunto es el conjunto de puntos que tienen una vecindad completamente contenida en el conjunto. - $T$ son dos líneas, que son de dimensión 1 en $\mathbb{R}^2$. - No existe ningún disco abierto alrededor de un punto de $T$ que esté completamente contenido en $T$. - Por lo tanto, el interior de $T$ es vacío. --- 5. Problema: Sucesión $(a_n)$ definida por $a_1=1$, $a_{n+1} = \frac{1 + a_n}{2 + a_n}$. 6. a) Mostrar que $(a_n)$ es sucesión de Cauchy. - Una sucesión es de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe $N$ tal que para $m,n > N$, $|a_n - a_m| < \varepsilon$. - Primero, mostramos que $(a_n)$ es acotada y monótona. - Calculamos algunos términos: $a_1=1$, $a_2=\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$, $a_3=\frac{1+\frac{2}{3}}{2+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{8}{3}}=\frac{5}{8}$. - La sucesión parece decrecer y estar acotada inferiormente por 0. - Por ser monótona y acotada, converge y por tanto es de Cauchy. 7. b) Encontrar el límite $L$. - Si $a_n \to L$, entonces $a_{n+1} \to L$. - Usamos la relación de recurrencia en el límite: $$L = \frac{1 + L}{2 + L}$$ - Multiplicamos ambos lados por $2 + L$: $$L(2 + L) = 1 + L$$ - Expandimos: $$2L + L^2 = 1 + L$$ - Reorganizamos: $$L^2 + 2L - L - 1 = 0 \Rightarrow L^2 + L - 1 = 0$$ - Resolvemos la ecuación cuadrática: $$L = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ - Como $a_n > 0$, tomamos la solución positiva: $$L = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$ --- 8. Problema: Dados $A,B \subset \mathbb{R}$, definir $A \cdot B = \{x \cdot y : x \in A, y \in B\}$. 9. a) Si $A$ y $B$ son compactos, entonces $A \cdot B$ es compacto. - El producto de compactos en $\mathbb{R}$ es compacto porque la multiplicación es continua. - La imagen continua de un conjunto compacto es compacto. - Por lo tanto, $A \cdot B$ es compacto. 10. b) Si $B$ es compacto y $A$ es cerrado, entonces $A \cdot B$ es cerrado. - La imagen continua de un conjunto cerrado no necesariamente es cerrado. - Ejemplo: $A = \{0\} \cup \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$ cerrado, $B = \{1\}$ compacto. - $A \cdot B = A$ que es cerrado. - Pero en general, sin compacidad en $A$, $A \cdot B$ puede no ser cerrado. - Por lo tanto, la afirmación es falsa en general. --- 11. Problema: Sucesión $(x_n)$ en $\mathbb{R}$ con $x_n > 0$ y $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = a < 1$. 12. a) Mostrar que $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$. - Por la razón límite, para $a < 1$, la sucesión decrece aproximadamente como una potencia de $a$. - Formalmente, para $\varepsilon > 0$ pequeño, existe $N$ tal que para $n > N$, $\frac{x_{n+1}}{x_n} < a + \varepsilon < 1$. - Entonces, para $n > N$, $x_n$ decrece geométricamente a 0. - Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$. --- 13. Problema: En $\mathbb{R}^2$ con métrica euclidiana, el conjunto $$S^1 = \{x \in \mathbb{R}^2 : d(x,0) = 1\}$$ 14. Mostrar que $S^1$ es un subespacio métrico completo. - $S^1$ es la circunferencia unidad. - Como subconjunto cerrado y acotado de $\mathbb{R}^2$, es compacto. - Todo espacio métrico compacto es completo. - Por lo tanto, $S^1$ es un subespacio métrico completo. Respuesta final: - 1a) $T$ es cerrado. - 1b) $T$ no es acotado. - 1c) $T$ tiene interior vacío. - 2a) $(a_n)$ es sucesión de Cauchy. - 2b) $\lim a_n = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. - 3a) $A \cdot B$ es compacto si $A,B$ compactos. - 3b) No siempre $A \cdot B$ es cerrado si $A$ cerrado y $B$ compacto. - 4a) $\lim x_n = 0$ si $\lim \frac{x_{n+1}}{x_n} = a < 1$. - 4b) $S^1$ es subespacio métrico completo.