1. **Planteamiento del problema:** Queremos encontrar la función $y(t)$ dada por la integral $$y(t) = \int_0^t 62.5 \sin(2\pi \cdot 60 \tau) e^{-(t-\tau)} d\tau$$ Esta integral es una convolución entre dos funciones: $f(\tau) = 62.5 \sin(2\pi \cdot 60 \tau)$ y $g(t-\tau) = e^{-(t-\tau)}$. 2. **Fórmula de la convolución:** La convolución de dos funciones $f$ y $g$ se define como $$y(t) = (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$ 3. **Aplicación al problema:** Aquí, $f(\tau) = 62.5 \sin(2\pi \cdot 60 \tau)$ y $g(t) = e^{-t} u(t)$ donde $u(t)$ es la función escalón unitario (implícita en el límite de integración). 4. **Transformada de Laplace:** Para resolver la convolución, usamos la propiedad: $$\mathcal{L}\{f * g\}(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) \cdot \mathcal{L}\{g\}(s)$$ 5. **Transformada de $f(\tau)$:** $$\mathcal{L}\{62.5 \sin(2\pi \cdot 60 t)\}(s) = 62.5 \cdot \frac{2\pi \cdot 60}{s^2 + (2\pi \cdot 60)^2}$$ 6. **Transformada de $g(t)$:** $$\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s) = \frac{1}{s+1}$$ 7. **Producto en dominio $s$:** $$Y(s) = 62.5 \cdot \frac{2\pi \cdot 60}{s^2 + (2\pi \cdot 60)^2} \cdot \frac{1}{s+1}$$ 8. **Descomposición en fracciones parciales:** Sea $\omega = 2\pi \cdot 60$, entonces $$Y(s) = \frac{62.5 \omega}{(s+1)(s^2 + \omega^2)}$$ 9. **Invertir la transformada de Laplace:** Usamos la fórmula conocida: $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{(s+a)(s^2 + \omega^2)}\right\} = \frac{1}{\omega^2 + a^2} \left( \omega e^{-a t} - \omega \cos(\omega t) + a \sin(\omega t) \right)$$ Para $a=1$ y multiplicando por 62.5: $$y(t) = 62.5 \cdot \frac{1}{\omega^2 + 1} \left( \omega e^{-t} - \omega \cos(\omega t) + \sin(\omega t) \right)$$ 10. **Sustituyendo $\omega = 2\pi \cdot 60$ y simplificando:** $$y(t) = \frac{62.5}{(2\pi \cdot 60)^2 + 1} \left( (2\pi \cdot 60) e^{-t} - (2\pi \cdot 60) \cos(2\pi \cdot 60 t) + \sin(2\pi \cdot 60 t) \right)$$ **Respuesta final:** $$y(t) = \frac{62.5}{(2\pi \cdot 60)^2 + 1} \left( (2\pi \cdot 60) e^{-t} - (2\pi \cdot 60) \cos(2\pi \cdot 60 t) + \sin(2\pi \cdot 60 t) \right)$$ Esta expresión describe la convolución solicitada, mostrando cómo la función seno modulada se atenúa y se mezcla con la exponencial decreciente.