1. Planteamos el problema: Determinar si la función a trozos $$f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{si } x \leq 1 \\ x^2 - 2x + 2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ es continua en $x=1$. 2. Recordemos que una función es continua en un punto $x=a$ si se cumplen tres condiciones: - $f(a)$ está definida. - Existe el límite $\lim_{x \to a} f(x)$. - El valor del límite es igual a $f(a)$. 3. Evaluamos $f(1)$ usando la definición para $x \leq 1$: $$f(1) = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$$ 4. Calculamos el límite por la izquierda $x \to 1^-$: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) = 3(1) - 1 = 2$$ 5. Calculamos el límite por la derecha $x \to 1^+$: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 2x + 2) = 1^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$$ 6. Comprobamos si los límites laterales coinciden: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \neq 1 = \lim_{x \to 1^+} f(x)$$ 7. Como los límites laterales no son iguales, el límite $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe. 8. Por lo tanto, la función $f(x)$ no es continua en $x=1$ porque no se cumple la condición de que el límite exista y sea igual a $f(1)$. **Respuesta final:** La función $f(x)$ no es continua en $x=1$.