1. **Enunciado do problema:** Resolver a equação não linear $$|x| - \cos(x) = 0$$ para a solução positiva. 2. **Parte (a): Localizar a solução positiva e indicar um intervalo de amplitude $$A = \frac{\pi}{2}$$ onde a solução está contida.** - A equação é $$|x| = \cos(x)$$. - Para $$x \geq 0$$, $$|x| = x$$, então a equação fica $$x = \cos(x)$$. - Sabemos que $$\cos(0) = 1$$ e $$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$$. - Avaliando a função $$f(x) = x - \cos(x)$$ nos extremos do intervalo $$[0, \frac{\pi}{2}]$$: - $$f(0) = 0 - 1 = -1 < 0$$ - $$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} > 0$$ - Como $$f(x)$$ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em $$[0, \frac{\pi}{2}]$$. 3. **Confirmação analítica:** - Para $$x > 0$$, $$f(x) = x - \cos(x)$$ é crescente porque $$f'(x) = 1 + \sin(x) > 0$$ para todo $$x \geq 0$$. - Logo, existe uma única solução positiva no intervalo $$[0, \frac{\pi}{2}]$$. 4. **Parte (b): Método da bissecção com $$n=4$$ iterações para aproximar a solução.** - Intervalo inicial: $$a_0 = 0$$, $$b_0 = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$$. - Função: $$f(x) = x - \cos(x)$$. Iterações: 1. $$c_1 = \frac{a_0 + b_0}{2} = 0.7854$$ $$f(c_1) = 0.7854 - \cos(0.7854) \approx 0.7854 - 0.7071 = 0.0783 > 0$$ Como $$f(a_0) < 0$$ e $$f(c_1) > 0$$, nova raiz está em $$[0, 0.7854]$$. 2. $$a_1 = 0$$, $$b_1 = 0.7854$$ $$c_2 = \frac{0 + 0.7854}{2} = 0.3927$$ $$f(c_2) = 0.3927 - \cos(0.3927) \approx 0.3927 - 0.924 = -0.5313 < 0$$ Nova raiz está em $$[0.3927, 0.7854]$$. 3. $$a_2 = 0.3927$$, $$b_2 = 0.7854$$ $$c_3 = \frac{0.3927 + 0.7854}{2} = 0.5891$$ $$f(c_3) = 0.5891 - \cos(0.5891) \approx 0.5891 - 0.8308 = -0.2417 < 0$$ Nova raiz está em $$[0.5891, 0.7854]$$. 4. $$a_3 = 0.5891$$, $$b_3 = 0.7854$$ $$c_4 = \frac{0.5891 + 0.7854}{2} = 0.6873$$ $$f(c_4) = 0.6873 - \cos(0.6873) \approx 0.6873 - 0.7725 = -0.0852 < 0$$ Nova raiz está em $$[0.6873, 0.7854]$$. - Após 4 iterações, a aproximação da raiz é $$c_4 = 0.6873$$ com 4 casas decimais. 5. **Parte (c): Majorante para o erro absoluto na aproximação.** - O erro máximo após $$n$$ iterações do método da bissecção é: $$E_n = \frac{b_0 - a_0}{2^n}$$ - Com $$b_0 - a_0 = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$$ e $$n=4$$: $$E_4 = \frac{1.5708}{2^4} = \frac{1.5708}{16} = 0.0982$$ 6. **Parte (d): Número de iterações para erro absoluto menor que $$\delta = 0.01$$.** - Queremos $$E_n < 0.01$$: $$\frac{1.5708}{2^n} < 0.01 \Rightarrow 2^n > \frac{1.5708}{0.01} = 157.08$$ - Tomando logaritmo base 2: $$n > \log_2(157.08) \approx 7.3$$ - Portanto, $$n = 8$$ iterações são necessárias para garantir erro absoluto menor que 0.01. **Resposta final:** - (a) A solução positiva está no intervalo $$[0, \frac{\pi}{2}]$$. - (b) Aproximação após 4 iterações: $$0.6873$$. - (c) Majorante do erro: $$0.0982$$. - (d) Número de iterações para erro $$< 0.01$$: $$8$$.