1. **Enunciado do problema:** Considere a função $$f(x) = 2 - x - \ln(x)$$. Desejamos: (a) Localizar a solução única $$s$$ da equação $$f(x) = 0$$ por análise gráfica e confirmação analítica. (b) Realizar $$n=4$$ iterações do método da bissecção para aproximar $$s$$. (c) Determinar um majorante para o erro absoluto após 4 iterações. (d) Calcular quantas iterações são necessárias para erro absoluto menor que $$\delta=0.0005$$. 2. **(a) Localização da solução e intervalo com amplitude 1:** - Note que $$f(x) = 2 - x - \ln(x)$$ está definida para $$x > 0$$ (pois $$\ln(x)$$ exige $$x>0$$). - Considere pontos: $$f(1) = 2 - 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1 > 0$$ $$f(2) = 2 - 2 - \ln(2) = 0 - 0.693 = -0.693 < 0$$ - Como $$f(1) > 0$$ e $$f(2) < 0$$, pelo Teorema do Valor Intermediário a solução $$s$$ está no intervalo $$[1,2]$$, que tem amplitude 1 com extremos inteiros. - Confirmação analítica: Para garantir unicidade, calcule a derivada $$f'(x) = -1 - \frac{1}{x}$$ Como $$x>0$$, $$f'(x) < 0$$ para todo $$x>0$$, a função é estritamente decrescente e logo existe apenas uma solução. 3. **(b) Método da bissecção, 4 iterações para aproximar $$s$$:** Iteração define os intervalos $$[a_n,b_n]$$: - Inicial: $$a_0=1, b_0=2$$, pois $$f(a_0)=1>0$$, $$f(b_0)<0$$ - Calcular $$c_n = \frac{a_n+b_n}{2}$$ e usar sinal de $$f(c_n)$$ Iteração 1: $$c_1 = 1.5$$ $$f(1.5) = 2 - 1.5 - \ln(1.5) = 0.5 - 0.4055 = 0.0945 > 0$$ Como $$f(c_1)>0$$, novo intervalo $$[1.5,2]$$ Iteração 2: $$c_2 = \frac{1.5 + 2}{2} = 1.75$$ $$f(1.75) = 2 - 1.75 - \ln(1.75) = 0.25 - 0.5596 = -0.3096 < 0$$ Novo intervalo $$[1.5,1.75]$$ Iteração 3: $$c_3 = \frac{1.5 + 1.75}{2} = 1.625$$ $$f(1.625) = 2 - 1.625 - \ln(1.625) = 0.375 - 0.4855 = -0.1105 < 0$$ Novo intervalo $$[1.5,1.625]$$ Iteração 4: $$c_4 = \frac{1.5 + 1.625}{2} = 1.5625$$ $$f(1.5625) = 2 - 1.5625 - \ln(1.5625) = 0.4375 - 0.4479 = -0.0104 < 0$$ Novo intervalo $$[1.5,1.5625]$$ Aprox. $$x_4 = 1.5625$$ (3 casas decimais: 1.563). 4. **(c) Majorante para o erro absoluto após 4 iterações:** No método da bissecção, o erro absoluto $$|x_n - s| \leq \frac{b_0 - a_0}{2^n}$$. Inicialmente $$b_0 - a_0 = 1$$. Depois de 4 iterações: $$|x_4 - s| \leq \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0.0625$$ 5. **(d) Quantas iterações para erro $$< 0.0005$$:** Queremos $$\frac{1}{2^n} < 0.0005$$. Tomando logaritmo base 2: $$2^n > \frac{1}{0.0005} = 2000$$ $$n > \log_2(2000)$$ Calcule: $$\log_2(2000) = \frac{\log_{10}(2000)}{\log_{10}(2)} \approx \frac{3.3010}{0.3010} \approx 10.97$$ Portanto, $$n=11$$ iterações garantem erro menor que 0.0005.