1. **Enunciado do problema:** Queremos entender o Teorema de Weierstrass que afirma que uma função contínua em um intervalo compacto $I = [a,b]$ admite máximo e mínimo em $I$. 2. **Definições importantes:** - Uma função $f$ é contínua em $a$ se $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. - Um conjunto $Y$ é majorado se existe um número $M$ tal que $y \leq M$ para todo $y \in Y$. - O supremo $S = \sup Y$ é o menor majorante de $Y$. 3. **Lema do supremo:** Se $Y$ é majorado e $S = \sup Y$, então existe uma sequência $(y_n)$ em $Y$ tal que $\lim y_n = S$. 4. **Prova do Teorema de Weierstrass (máximo):** - Considere $Y = \{ f(t) : t \in [a,b] \}$. - Suponha que $Y$ é majorado, então $S = \sup Y$ existe. - Pelo lema, existe uma sequência $(y_n)$ em $Y$ com $y_n = f(t_n)$ e $\lim f(t_n) = S$. - Como $[a,b]$ é compacto, a sequência $(t_n)$ tem uma subsequência convergente $t_{n_k} \to c \in [a,b]$ (Teorema de Bolzano-Weierstrass). - Como $f$ é contínua, $\lim f(t_{n_k}) = f(c)$. - Pela unicidade do limite, $S = f(c)$, logo $S$ é um máximo de $f$ em $[a,b]$. 5. **Caso do mínimo:** - O mesmo raciocínio vale para o ínfimo, garantindo a existência do mínimo. 6. **Exercício sobre conjunto não majorado:** - Se $Y$ não é majorado, existe uma sequência $(y_n)$ em $Y$ tal que $\lim y_n = +\infty$. 7. **Contradição para função contínua:** - Se $f$ fosse contínua e $Y$ não majorado, teríamos uma sequência $(t_n)$ em $[a,b]$ com $f(t_n) \to +\infty$. - Como $[a,b]$ é compacto, $(t_n)$ tem subsequência convergente $t_{n_k} \to c$. - Pela continuidade, $f(t_{n_k}) \to f(c)$ finito. - Isso contradiz $f(t_{n_k}) \to +\infty$. 8. **Conclusão:** - Portanto, $Y$ é necessariamente majorado e $f$ atinge seu máximo e mínimo em $[a,b]$. **Resposta final:** Uma função contínua em um intervalo compacto $[a,b]$ admite máximo e mínimo nesse intervalo, conforme o Teorema de Weierstrass.