1. Problema 9: Calcular os limites dados, onde $k$ é um inteiro. (a) $\lim_{x\to(\pi+4k\pi)^-} \tan x$. Sabemos que $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ e que $\cos(\pi+4k\pi)=\cos \pi = -1$ e $\sin(\pi+4k\pi)=0$. À esquerda de $\pi+4k\pi$, $\cos x$ será ligeiramente maior que $-1$ e $\sin x$ mudará sinal, mas $\tan x$ tende a $0$ pela análise da continuidade do tangente pois não é ponto de descontinuidade infinita neste valor. (b) $\lim_{x\to(3\pi+4k\pi)^+} \tan x$. $3\pi+4k\pi$ pode ser escrito como $\pi + 2\pi(2k+1)$, e $\cos(3\pi+4k\pi) = -1$, $\sin(3\pi+4k\pi)=0$. À direita desse ponto, o comportamento do sinal da tangente perto desse múltiplo ímpar de $\pi$ é que $\tan x$ aproxima-se de 0. (c) $\lim_{x\to(k\pi)^-} \cot x$. $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Em múltiplos de $\pi$, $\sin(k\pi)=0$, logo cotangente tem descontinuidade de polo. À esquerda, $\sin x$ é negativo para $x$ ligeiramente menor que um múltiplo par de $\pi$, tornando $\cot x$ tendendo a $+\infty$ ou $-\infty$ dependendo do sinal. Mais especificamente, para $k$ par, $\lim_{x\to(k\pi)^-} \cot x = +\infty$. (d) $\lim_{x\to(k\pi)^+} \cot x$. De forma análoga, o limite será $-\infty$ para $k$ par. (e) $\lim_{x\to(\pi+4k\pi)^-} \sec x$. $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Como $\cos (\pi+4k\pi) = -1$, não há descontinuidade, limite é $-1$. (f) $\lim_{x\to(3\pi+4k\pi)^+} \sec x$. Novamente, $\cos(3\pi+4k\pi)=-1$, então limite é também $-1$. (g) $\lim_{x\to(k\pi)^-} \csc x$. $\csc x = \frac{1}{\sin x}$. Como $\sin(k\pi)=0$, há polo em múltiplos de $\pi$. À esquerda, $\sin x$ muda sinal, então para $k$ par, o limite é $-\infty$. (h) $\lim_{x\to(k\pi)^+} \csc x$. À direita, para $k$ par, limite é $+\infty$. --- 10. Estudo da monotonia e extremos: (a) $\tan x$ é crescente em cada intervalo entre seus assíntotas verticais, pois sua derivada $\sec^2 x >0$ em seu domínio. (b) $\cot x$ é decrescente onde está definida, pois sua derivada $-\csc^2 x <0$. (c) $\sec x$ é crescente ou decrescente dependendo do intervalo, dado que sua derivada é $\sec x \tan x$. Não tem extremos locais porque possui assíntotas e cresce ou decresce indefinidamente. (d) $\csc x$ também não tem extremos locais, derivada $-\csc x \cot x$ e comportamento similar a $\sec x$. --- 11. Esboço dos gráficos: (a) $\tan x$ tem assíntotas em $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ e é periódica com período $\pi$. (b) $\cot x$ tem assíntotas em $x=k\pi$ e é periódica com período $\pi$. (c) $\sec x$ tem assíntotas em pontos onde $\cos x=0$, isto é, em $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, com gráfico oscilando acima de 1 e abaixo de -1. (d) $\csc x$ tem assíntotas em múltiplos de $\pi$, gráfico oscilando acima de 1 e abaixo de -1. --- 12. Para calcular as funções trigonométricas e inversas na calculadora, selecione o modo radiano e utilize as funções integradas. --- 13. Cálculos na calculadora (ângulos em radianos): (a) $\sen(\arcsin 0,5) = 0,5$ porque seno e arcseno são funções inversas. (b) $\arccos(1,2)$ não existe, pois o domínio do cosseno é $[-1,1]$. (c) $\sen(\arcsin \pi)$ não faz sentido porque $\pi \notin [-1,1]$ domínio do arcseno. (d) $\arcsin(\sen 3)$ pode surpreender porque o seno é periódico, então $\arcsin(\sen 3)$ retorna um valor no intervalo $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, diferente de 3 em geral. --- Resposta final: veja os cálculos e explicações acima para cada questão.