1. Vamos analisar o problema: calcular o limite $$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^{n+1}$$ 2. Primeiro, observe que para grandes valores de $n$, a fração dentro do parênteses tende a 1, pois $$\frac{2n+3}{2n+1} = \frac{2n+1+2}{2n+1} = 1 + \frac{2}{2n+1}$$ 3. Reescrevendo o limite usando essa observação: $$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{2n+1}\right)^{n+1}$$ 4. Para facilitar, vamos aproximar $n+1 \approx n$ para o limite quando $n$ é grande, então: $$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{2n+1}\right)^n$$ 5. O limite tem forma do tipo: $$\left(1 + \frac{k}{m_n}\right)^{m_n}$$ que converge para $e^k$ se $m_n$ for uma expressão que cresce para o infinito. 6. Aqui, $k = 2$ e $m_n = 2n+1$, mas o expoente é $n$, então precisamos escrever o expoente em termos de $m_n$: Note que $$m_n = 2n+1 \implies n = \frac{m_n - 1}{2}$$ Assim: $$\left(1 + \frac{2}{m_n}\right)^n = \left(1 + \frac{2}{m_n}\right)^{\frac{m_n - 1}{2}} = \left[\left(1 + \frac{2}{m_n}\right)^{m_n}\right]^{\frac{m_n - 1}{2m_n}}$$ 7. Agora, observe que $$\lim_{m_n \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{m_n}\right)^{m_n} = e^2$$ 8. E o expoente interno converge para $$\lim_{m_n \to +\infty} \frac{m_n - 1}{2m_n} = \frac{1}{2}$$ 9. Portanto, o limite é: $$e^{2 \times \frac{1}{2}} = e^1 = e$$ Resposta final: $$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^{n+1} = e$$