1. Problema 7: Seja $f$ contínua em $[a, a+4]$ com $f(a) = f(a+4) = 0$ e $f(a+2) > 0$. Prove que a equação $f(x) = f(x+2)$ tem pelo menos uma solução em $]a, a+2[$. 2. Defina a função $$g(x) = f(x) - f(x+2).$$ Queremos mostrar que $g(x) = 0$ para algum $x \in ]a, a+2[$. 3. Avaliamos $g$ nos extremos do intervalo $[a, a+2]$: - $g(a) = f(a) - f(a+2) = 0 - f(a+2) < 0$ porque $f(a+2) > 0$. - $g(a+2) = f(a+2) - f(a+4) = f(a+2) - 0 > 0$. 4. A função $g$ é contínua pois $f$ é contínua e soma/subtração de funções contínuas é contínua. 5. Como $g(a) < 0$ e $g(a+2) > 0$, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c \in ]a, a+2[$ tal que $g(c) = 0$. 6. Logo, $f(c) = f(c+2)$ para algum $c \in ]a, a+2[$, como queríamos mostrar. 7. Problema 8: Seja $f$ contínua em $[-a,a]$ com $a > 0$, $f(-a) = f(a)$ e $f(a) > f(0)$. Mostre que existe solução para $f(x) = f(x+a)$ em $]-a,0[$. 8. Defina $$h(x) = f(x) - f(x + a),$$ com $x \in [-a, 0]$. 9. Avalie $h$ nos extremos: - $h(-a) = f(-a) - f(0) = f(a) - f(0) > 0$. - $h(0) = f(0) - f(a) < 0$. 10. $h$ é contínua pois $f$ é contínua. 11. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $d \in ]-a,0[$ tal que $h(d) = 0$, ou seja, $f(d) = f(d + a)$. Resposta final: Ambas as equações têm pelo menos uma solução nos intervalos solicitados.