1. Pernyataan masalah: Kita akan mempelajari Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV), yang merupakan kumpulan tiga persamaan linier dengan tiga variabel yang sama. 2. Bentuk umum SPLTV adalah: $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$ Dimana $a_i, b_i, c_i, d_i$ adalah konstanta dan $x, y, z$ adalah variabel. 3. Peta konsep SPLTV: - Bentuk umum - Metode penyelesaian: - Determinan (Cramer) - Eliminasi - Substitusi - Eliminasi-Substitusi - Himpunan penyelesaian 4. Himpunan penyelesaian: - Jika sistem konsisten dan determinan tidak nol, solusi unik. - Jika determinan nol dan sistem konsisten, solusi tak hingga. - Jika sistem tidak konsisten, tidak ada solusi. 5. Metode Determinan (Cramer): Gunakan matriks koefisien $A$ dan vektor konstanta $D$. $$A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$$ Hitung determinan $\Delta = |A|$. Jika $\Delta \neq 0$, solusi: $$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$$ Dimana $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ adalah determinan matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom $x, y, z$ dengan $D$. 6. Metode Eliminasi: Eliminasi variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan agar satu variabel hilang, ulangi hingga dapatkan dua persamaan dua variabel, lalu selesaikan. 7. Metode Substitusi: Selesaikan satu persamaan untuk satu variabel, substitusikan ke persamaan lain, ulangi hingga dapatkan nilai variabel. 8. Metode Eliminasi-Substitusi: Gabungan kedua metode di atas untuk memudahkan penyelesaian. 9. Contoh soal: $$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - y + 2z = 3 \\ 3x + 2y + z = 10 \end{cases}$$ 10. Penyelesaian dengan eliminasi: - Eliminasi $z$ dari persamaan 1 dan 2: Pers 1: $2x + y - z = 3$ Pers 2: $x - y + 2z = 3$ Kalikan pers 1 dengan 2: $4x + 2y - 2z = 6$ Kalikan pers 2 dengan 1: $x - y + 2z = 3$ Jumlahkan: $(4x + 2y - 2z) + (x - y + 2z) = 6 + 3$ $5x + y = 9$ - Eliminasi $z$ dari persamaan 2 dan 3: Pers 2: $x - y + 2z = 3$ Pers 3: $3x + 2y + z = 10$ Kalikan pers 3 dengan 2: $6x + 4y + 2z = 20$ Kurangkan pers 2 dari hasil ini: $(6x + 4y + 2z) - (x - y + 2z) = 20 - 3$ $5x + 5y = 17$ - Sistem dua variabel: $$\begin{cases} 5x + y = 9 \\ 5x + 5y = 17 \end{cases}$$ Kurangi persamaan pertama dari kedua: $(5x + 5y) - (5x + y) = 17 - 9$ $4y = 8 \Rightarrow y = 2$ Substitusi $y=2$ ke $5x + y = 9$: $5x + 2 = 9 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{5}$ Substitusi $x$ dan $y$ ke persamaan 1: $2(\frac{7}{5}) + 2 - z = 3$ $\frac{14}{5} + 2 - z = 3$ $\frac{14}{5} + \frac{10}{5} - z = \frac{15}{5}$ $\frac{24}{5} - z = \frac{15}{5} \Rightarrow z = \frac{24}{5} - \frac{15}{5} = \frac{9}{5}$ Jadi solusi adalah: $$x = \frac{7}{5}, \quad y = 2, \quad z = \frac{9}{5}$$