1. **Nyatakan masalah:** Seorang pedagang mencampur beras A dan B untuk membuat beras C dan D dengan komposisi: - Beras C: 2 porsi A + 1 porsi B - Beras D: 3 porsi A + 2 porsi B Pedagang memiliki 5 kuintal beras A dan ingin beras B yang digunakan lebih dari 3 kuintal. Laba beras C adalah 1000 per kg, laba beras D adalah 800 per kg. 2. **Definisikan variabel:** Misalkan: - $x$ = jumlah beras C yang dibuat (dalam kuintal) - $y$ = jumlah beras D yang dibuat (dalam kuintal) 3. **Buat persamaan penggunaan beras A dan B:** - Beras A yang digunakan: $2x + 3y \leq 5$ (kuintal) - Beras B yang digunakan: $x + 2y > 3$ (kuintal) 4. **Fungsi laba yang ingin dimaksimalkan:** $$L = 1000 \times 100 \times x + 800 \times 100 \times y = 100000x + 80000y$$ Karena 1 kuintal = 100 kg. 5. **Batasan lain:** $x \geq 0$, $y \geq 0$ karena jumlah beras tidak bisa negatif. 6. **Cari titik-titik batas dari sistem:** - Dari $2x + 3y = 5$: - Jika $x=0$, $y=\frac{5}{3} \approx 1.67$ - Jika $y=0$, $x=\frac{5}{2} = 2.5$ - Dari $x + 2y = 3$: - Jika $x=0$, $y=1.5$ - Jika $y=0$, $x=3$ 7. **Karena $x + 2y > 3$, kita cari titik di atas garis ini.** 8. **Cari titik potong kedua garis:** $$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x + 2y = 3 \end{cases}$$ Dari persamaan kedua, $x = 3 - 2y$. Substitusi ke persamaan pertama: $$2(3 - 2y) + 3y = 5 \Rightarrow 6 - 4y + 3y = 5 \Rightarrow 6 - y = 5 \Rightarrow y = 1$$ Maka $x = 3 - 2(1) = 1$. 9. **Evaluasi fungsi laba di titik-titik batas yang memenuhi:** - Titik A: $(0, 1.67)$, tapi $x + 2y = 0 + 2(1.67) = 3.34 > 3$ valid. Laba: $100000(0) + 80000(1.67) = 133600$ - Titik B: $(2.5, 0)$, $x + 2y = 2.5 + 0 = 2.5 \not> 3$ tidak valid. - Titik C: $(1, 1)$, $x + 2y = 1 + 2 = 3$ tidak lebih dari 3, jadi tidak valid. - Titik D: Cek titik di garis $x + 2y = 3$ sedikit di atas, misal $x=1, y=1.1$: Cek batas A: $2(1) + 3(1.1) = 2 + 3.3 = 5.3 > 5$ tidak valid. - Titik E: Cek titik di garis $2x + 3y = 5$ dan $x + 2y > 3$: Misal $x=0.5$, $y=1.5$: $2(0.5) + 3(1.5) = 1 + 4.5 = 5.5 > 5$ tidak valid. 10. **Cari titik lain yang memenuhi batasan:** Karena $x + 2y > 3$ dan $2x + 3y \leq 5$, coba $x=0.8$, $y=1.2$: - $x + 2y = 0.8 + 2.4 = 3.2 > 3$ valid - $2x + 3y = 1.6 + 3.6 = 5.2 > 5$ tidak valid Coba $x=0.6$, $y=1.1$: - $x + 2y = 0.6 + 2.2 = 2.8 < 3$ tidak valid Coba $x=0.7$, $y=1.15$: - $x + 2y = 0.7 + 2.3 = 3.0$ tidak lebih dari 3, tidak valid Coba $x=0.75$, $y=1.13$: - $x + 2y = 0.75 + 2.26 = 3.01 > 3$ valid - $2x + 3y = 1.5 + 3.39 = 4.89 \leq 5$ valid Laba: $$L = 100000(0.75) + 80000(1.13) = 75000 + 90400 = 165400$$ 11. **Kesimpulan:** Laba maksimum yang diperoleh pedagang adalah sekitar Rp16540000 (karena 1 kuintal = 100 kg, dan laba per kg sudah dikalikan).