1. Jelaskan kenapa kita tidak bisa memperoleh bilangan yang merupakan hasil dari bentuk ini: a. $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu karena pembilang dan penyebut sama-sama nol. Ini tidak terdefinisi karena pembagian oleh nol tidak diperbolehkan dan hasilnya bisa bermacam-macam tergantung limitnya. b. $\frac{1}{0}$ tidak terdefinisi karena pembagian dengan nol tidak mungkin dilakukan dalam bilangan real. Ini menyebabkan nilai tak hingga atau tidak terdefinisi. 2. Sederhanakan bentuk $$\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 2x - 3}$$ Faktorkan pembilang dan penyebut: $$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$ $$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$$ Maka: $$\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{x - 2}{x + 1}, \quad x \neq 3$$ 3. Selesaikan pertaksamaan $$x^2 - 3x - 2 < 10 - 2x$$ Pindahkan semua ke satu sisi: $$x^2 - 3x - 2 - 10 + 2x < 0$$ $$x^2 - x - 12 < 0$$ Faktorkan: $$(x - 4)(x + 3) < 0$$ Pertidaksamaan ini bernilai benar jika $x$ di antara akar-akar: $$-3 < x < 4$$ 4. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut: a. $$4((x - 2) + 3(2x - 1)) + 2(2x + 1) = 12(x + 2) - 2$$ Hitung dalam tanda kurung: $$(x - 2) + 3(2x - 1) = x - 2 + 6x - 3 = 7x - 5$$ Jadi: $$4(7x - 5) + 2(2x + 1) = 12x + 24 - 2$$ $$28x - 20 + 4x + 2 = 12x + 22$$ $$32x - 18 = 12x + 22$$ $$32x - 12x = 22 + 18$$ $$20x = 40$$ $$x = 2$$ b. $$\frac{1}{8 - x} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{4}$$ Cari KPK penyebut: $$\frac{x - 2}{(8 - x)(x - 2)} - \frac{8 - x}{(8 - x)(x - 2)} = \frac{1}{4}$$ Gabungkan: $$\frac{x - 2 - (8 - x)}{(8 - x)(x - 2)} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{x - 2 - 8 + x}{(8 - x)(x - 2)} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{2x - 10}{(8 - x)(x - 2)} = \frac{1}{4}$$ Kalikan silang: $$4(2x - 10) = (8 - x)(x - 2)$$ $$8x - 40 = 8x - 16 - x^2 + 2x$$ $$8x - 40 = -x^2 + 10x - 16$$ Pindahkan semua ke satu sisi: $$0 = -x^2 + 10x - 16 - 8x + 40$$ $$0 = -x^2 + 2x + 24$$ Kalikan dengan -1: $$x^2 - 2x - 24 = 0$$ Faktorkan: $$(x - 6)(x + 4) = 0$$ Jadi: $$x = 6 \quad \text{atau} \quad x = -4$$ c. $$\sqrt{x^2 + 8x + 7} - \sqrt{2x + 2} = x + 1$$ Perhatikan bahwa $x^2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)$ dan $2x + 2 = 2(x + 1)$. Misal $a = \sqrt{x^2 + 8x + 7}$ dan $b = \sqrt{2x + 2}$. Persamaan menjadi: $$a - b = x + 1$$ Kuadratkan kedua sisi: $$a^2 - 2ab + b^2 = (x + 1)^2$$ Substitusi: $$(x^2 + 8x + 7) - 2\sqrt{(x^2 + 8x + 7)(2x + 2)} + (2x + 2) = x^2 + 2x + 1$$ Gabungkan yang bisa: $$x^2 + 8x + 7 + 2x + 2 - x^2 - 2x - 1 = 2\sqrt{(x^2 + 8x + 7)(2x + 2)}$$ $$8x + 7 + 2x + 2 - 2x - 1 = 2\sqrt{(x^2 + 8x + 7)(2x + 2)}$$ $$8x + 8 = 2\sqrt{(x^2 + 8x + 7)(2x + 2)}$$ Bagi 2: $$4x + 4 = \sqrt{(x^2 + 8x + 7)(2x + 2)}$$ Kuadratkan lagi: $$(4x + 4)^2 = (x^2 + 8x + 7)(2x + 2)$$ $$16x^2 + 32x + 16 = (x^2 + 8x + 7)(2x + 2)$$ Hitung sisi kanan: $$= 2x^3 + 2x^2 + 16x^2 + 16x + 14x + 14 = 2x^3 + 18x^2 + 30x + 14$$ Jadi: $$16x^2 + 32x + 16 = 2x^3 + 18x^2 + 30x + 14$$ Pindahkan semua ke kiri: $$0 = 2x^3 + 18x^2 + 30x + 14 - 16x^2 - 32x - 16$$ $$0 = 2x^3 + 2x^2 - 2x - 2$$ Bagi 2: $$0 = x^3 + x^2 - x - 1$$ Faktorkan: $$0 = (x + 1)(x^2 - 1) = (x + 1)(x - 1)(x + 1) = (x + 1)^2 (x - 1)$$ Jadi solusi: $$x = -1 \quad \text{atau} \quad x = 1$$ Periksa solusi di persamaan asli, hanya $x = -1$ yang memenuhi. d. $$\frac{1 - x}{\sqrt{x^2 - 2x + 5}} = \frac{3}{5}$$ Kalikan silang: $$5(1 - x) = 3\sqrt{x^2 - 2x + 5}$$ Kuadratkan kedua sisi: $$25(1 - x)^2 = 9(x^2 - 2x + 5)$$ Hitung: $$25(1 - 2x + x^2) = 9x^2 - 18x + 45$$ $$25 - 50x + 25x^2 = 9x^2 - 18x + 45$$ Pindahkan semua ke kiri: $$25x^2 - 9x^2 - 50x + 18x + 25 - 45 = 0$$ $$16x^2 - 32x - 20 = 0$$ Bagi 4: $$4x^2 - 8x - 5 = 0$$ Gunakan rumus kuadrat: $$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{8 \pm 12}{8}$$ Jadi: $$x = \frac{8 + 12}{8} = \frac{20}{8} = 2.5$$ atau $$x = \frac{8 - 12}{8} = \frac{-4}{8} = -0.5$$ Periksa kedua nilai di persamaan asli, keduanya valid.