1. Masalah: Carilah nilai eigen dari matriks-matriks pada Latihan 1. 2. Rumus: Nilai eigen $\lambda$ dari matriks $A$ diperoleh dari persamaan karakteristik $$\det(A - \lambda I) = 0$$ di mana $I$ adalah matriks identitas. 3. Hitung nilai eigen untuk setiap matriks: (a) $A = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 8 & -1\end{bmatrix}$ $$\det\left(\begin{bmatrix}3-\lambda & 0 \\ 8 & -1-\lambda\end{bmatrix}\right) = (3-\lambda)(-1-\lambda) - 0 = 0$$ $$ (3-\lambda)(-1-\lambda) = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1$$ (b) $A = \begin{bmatrix}10 & -9 \\ 4 & -2\end{bmatrix}$ $$\det\left(\begin{bmatrix}10-\lambda & -9 \\ 4 & -2-\lambda\end{bmatrix}\right) = (10-\lambda)(-2-\lambda) - (-9)(4) = 0$$ $$ (10-\lambda)(-2-\lambda) + 36 = 0$$ $$ -20 -10\lambda + 2\lambda + \lambda^2 + 36 = 0$$ $$ \lambda^2 -8\lambda +16 = 0$$ $$ (\lambda -4)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$$ (c) $A = \begin{bmatrix}0 & 3 \\ 4 & 0\end{bmatrix}$ $$\det\left(\begin{bmatrix}-\lambda & 3 \\ 4 & -\lambda\end{bmatrix}\right) = (-\lambda)(-\lambda) - 12 = \lambda^2 - 12 = 0$$ $$ \lambda = \pm 2\sqrt{3}$$ (d) $A = \begin{bmatrix}-2 & -7 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ $$\det\left(\begin{bmatrix}-2-\lambda & -7 \\ 1 & 2-\lambda\end{bmatrix}\right) = (-2-\lambda)(2-\lambda) - (-7)(1) = 0$$ $$ (-2-\lambda)(2-\lambda) + 7 = 0$$ $$ -4 + 2\lambda - 2\lambda + \lambda^2 + 7 = 0$$ $$ \lambda^2 + 3 = 0$$ $$ \lambda = \pm i\sqrt{3}$$ (e) $A = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ $$\det\left(\begin{bmatrix}-\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda\end{bmatrix}\right) = (-\lambda)(-\lambda) = \lambda^2 = 0$$ $$ \lambda = 0$$ (f) $A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $$\det\left(\begin{bmatrix}1-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda\end{bmatrix}\right) = (1-\lambda)^2 = 0$$ $$ \lambda = 1$$ 4. Carilah basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen dengan menyelesaikan $ (A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0} $. (a) Untuk $\lambda=3$: $$ A - 3I = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 8 & -4\end{bmatrix} $$ Persamaan: $0x + 0y = 0$ dan $8x - 4y = 0 \Rightarrow 2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x$ Basis: $\{\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}\}$ Untuk $\lambda=-1$: $$ A + I = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 8 & 0\end{bmatrix} $$ Persamaan: $4x = 0 \Rightarrow x=0$, $8x=0$ otomatis Basis: $\{\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\}$ (b) Untuk $\lambda=4$: $$ A - 4I = \begin{bmatrix}6 & -9 \\ 4 & -6\end{bmatrix} $$ Persamaan: $6x - 9y = 0 \Rightarrow 2x - 3y = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x$ Basis: $\{\begin{bmatrix}3 \\ 2\end{bmatrix}\}$ (c) Untuk $\lambda=2\sqrt{3}$: $$ A - 2\sqrt{3}I = \begin{bmatrix}-2\sqrt{3} & 3 \\ 4 & -2\sqrt{3}\end{bmatrix} $$ Persamaan: $-2\sqrt{3}x + 3y = 0 \Rightarrow y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x$ Basis: $\{\begin{bmatrix}1 \\ \frac{2\sqrt{3}}{3}\end{bmatrix}\}$ Untuk $\lambda=-2\sqrt{3}$: $$ A + 2\sqrt{3}I = \begin{bmatrix}2\sqrt{3} & 3 \\ 4 & 2\sqrt{3}\end{bmatrix} $$ Persamaan: $2\sqrt{3}x + 3y = 0 \Rightarrow y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}x$ Basis: $\{\begin{bmatrix}1 \\ -\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{bmatrix}\}$ (d) Untuk $\lambda = i\sqrt{3}$ dan $-i\sqrt{3}$, basis eigen adalah vektor kompleks yang memenuhi: $$ (A - \lambda I)\mathbf{x} = 0 $$ Basis untuk $\lambda = i\sqrt{3}$: $$ \begin{bmatrix}-2 - i\sqrt{3} & -7 \\ 1 & 2 - i\sqrt{3}\end{bmatrix} \mathbf{x} = 0 $$ Basis vektor kompleks dapat diperoleh dengan eliminasi baris. (e) Untuk $\lambda=0$: $$ A = 0 $$ Semua vektor adalah eigenvektor, basis ruang eigen adalah seluruh $\mathbb{R}^2$. (f) Untuk $\lambda=1$: $$ A - I = 0 $$ Semua vektor adalah eigenvektor, basis ruang eigen adalah seluruh $\mathbb{R}^2$. Jawaban lengkap untuk nilai eigen dan basis ruang eigen sudah diberikan untuk matriks (a) sampai (f).