1. Masalah: Diberikan matriks-matriks dan sifat-sifatnya, kita diminta untuk memverifikasi dan memahami sifat-sifat tersebut seperti persamaan matriks, periodisitas, nilpotensi, komutasi, dan anti-komutasi. 2. Untuk bagian 23(a), diberikan matriks $$A=\begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{bmatrix}$$ Dengan sifat $$A^3 - 4A^2 - 8I = 0$$ Ini berarti matriks $A$ memenuhi polinomial karakteristik tertentu. Kita bisa memverifikasi dengan menghitung $A^2$, $A^3$, lalu substitusi ke persamaan. 3. Bagian 23(b), matriks $$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7\end{bmatrix}$$ Memenuhi $$A^3 - 24A^2 - 94I = 0$$ Tetapi $$A^3 - 2A - 97I \neq 0$$ Ini menunjukkan polinomial minimal matriks berbeda dari polinomial lain. 4. Bagian 24, diberikan tiga matriks kuadrat 3x3, dan persamaan $$M_1^2 - M_2^2 - M_3^2 = I$$ Dimana $M_1, M_2, M_3$ adalah matriks yang diberikan. Ini dapat diverifikasi dengan menghitung kuadrat masing-masing matriks dan menjumlahkan sesuai persamaan. 5. Bagian 25, matriks $$A=\begin{bmatrix}1 & -2 & -6 \\ -3 & 2 & 9 \\ 2 & 0 & -3\end{bmatrix}$$ Dikatakan periodik dengan periode 2, artinya $$A^2 = I$$ Ini dapat diverifikasi dengan menghitung $A^2$. 6. Bagian 26, matriks $$\begin{bmatrix}1 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -4\end{bmatrix}$$ Adalah nilpoten, artinya ada $k$ sehingga $$A^k = 0$$ Biasanya $k=2$ atau $3$ untuk matriks 3x3. Verifikasi dengan menghitung pangkat matriks. 7. Bagian 27(a), matriks $$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & -1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}-2 & -1 & -6 \\ 3 & 2 & 9 \\ -1 & -1 & -4\end{bmatrix}$$ Dikatakan saling dapat dipertukarkan, artinya $$AB = BA$$ Verifikasi dengan menghitung $AB$ dan $BA$. 8. Bagian 27(b), matriks $$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{7}{15} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{15}\end{bmatrix}$$ Juga saling dapat dipertukarkan, verifikasi dengan $AB=BA$. 9. Bagian 28, matriks $$A=\begin{bmatrix}1 & -1 \\ 2 & -1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 4 & -1\end{bmatrix}$$ Anti-komutasi berarti $$AB = -BA$$ Dan $$(A+B)^2 = A^2 + B^2$$ Verifikasi dengan menghitung kedua sisi. 10. Bagian 29, tiga matriks 2x2 yang diberikan saling anti-komutasi, artinya setiap pasangan matriks $M_i, M_j$ memenuhi $$M_i M_j = - M_j M_i$$ Verifikasi dengan perkalian matriks. 11. Bagian 30, buktikan bahwa satu-satunya matriks yang komutatif dengan semua matriks bujur sangkar adalah matriks skalar, yaitu matriks diagonal dengan elemen diagonal sama. 12. Bagian 31(a), tentukan semua matriks yang berkomutasi dengan matriks diagonal $$D = \mathrm{diag}(1, 2, 3)$$ Jawab: Semua matriks diagonal $$\mathrm{diag}(a, b, c)$$ Dengan $a,b,c$ sembarang, karena matriks diagonal berkomutasi satu sama lain. 13. Bagian 31(b), untuk matriks diagonal umum $$D = \mathrm{diag}(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn})$$ Matriks yang berkomutasi dengannya adalah matriks yang memiliki bentuk blok diagonal sesuai dengan nilai-nilai diagonal yang sama pada $D$. Kesimpulan: Soal-soal ini menguji pemahaman sifat-sifat matriks seperti polinomial karakteristik, periodisitas, nilpotensi, komutasi, dan anti-komutasi dengan contoh konkret matriks 2x2 dan 3x3.