1. Diketahui matriks A, B, dan C serta persamaan $ (B^T + C)^T = A $. Kita akan mencari nilai $a$, $b$, $c$, dan $d$. 2. Transpose dari matriks B adalah $B^T = \begin{bmatrix} -3 & \frac{1}{3} & d \\ 2a+b & -\frac{5}{6} & (-\frac{1}{2})a+b \\ \frac{1}{2} & a+c & -2 \end{bmatrix}$. 3. Jumlahkan $B^T$ dan $C$: $$B^T + C = \begin{bmatrix} -3 + (-\frac{1}{3}) & \frac{1}{3} + 2a+b & d + 3 \\ 2a+b + \frac{1}{2}c & -\frac{5}{6} - 1 & (-\frac{1}{2})a+b + \frac{1}{3}c \\ \frac{1}{2} + 4 & a+c - 2b & -2 + 4 \end{bmatrix}$$ 4. Transpose dari hasil tersebut adalah: $$ (B^T + C)^T = \begin{bmatrix} -3 - \frac{1}{3} & 2a+b + \frac{1}{2}c & \frac{1}{2} + 4 \\ \frac{1}{3} + 2a+b & -\frac{5}{6} - 1 & a+c - 2b \\ d + 3 & (-\frac{1}{2})a+b + \frac{1}{3}c & -2 + 4 \end{bmatrix} $$ 5. Karena $ (B^T + C)^T = A $, samakan elemen-elemen matriks: - Baris 1, kolom 1: $-3 - \frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$ - Baris 1, kolom 2: $2a + b + \frac{1}{2}c = -\frac{3}{2}$ - Baris 1, kolom 3: $\frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$ - Baris 2, kolom 1: $\frac{1}{3} + 2a + b = \frac{7}{3}$ - Baris 2, kolom 2: $-\frac{5}{6} - 1 = -\frac{11}{6}$ - Baris 2, kolom 3: $a + c - 2b = -3$ - Baris 3, kolom 1: $d + 3 = 4$ - Baris 3, kolom 2: $(-\frac{1}{2})a + b + \frac{1}{3}c = 2$ - Baris 3, kolom 3: $-2 + 4 = 2$ 6. Dari persamaan yang sudah jelas: - $-3 - \frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$ benar. - $\frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$ benar. - $-\frac{5}{6} - 1 = -\frac{11}{6}$ benar. - $d + 3 = 4 \Rightarrow d = 1$. - $-2 + 4 = 2$ benar. 7. Sistem persamaan untuk $a$, $b$, dan $c$: $$\begin{cases} 2a + b + \frac{1}{2}c = -\frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} + 2a + b = \frac{7}{3} \\ a + c - 2b = -3 \\ (-\frac{1}{2})a + b + \frac{1}{3}c = 2 \end{cases}$$ 8. Dari persamaan kedua: $$2a + b = \frac{7}{3} - \frac{1}{3} = 2$$ 9. Dari persamaan pertama: $$2a + b + \frac{1}{2}c = -\frac{3}{2}$$ Substitusi $2a + b = 2$: $$2 + \frac{1}{2}c = -\frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}c = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2} \Rightarrow c = -7$$ 10. Dari persamaan ketiga: $$a + c - 2b = -3$$ Substitusi $c = -7$: $$a - 7 - 2b = -3 \Rightarrow a - 2b = 4$$ 11. Dari persamaan keempat: $$-\frac{1}{2}a + b + \frac{1}{3}c = 2$$ Substitusi $c = -7$: $$-\frac{1}{2}a + b - \frac{7}{3} = 2 \Rightarrow -\frac{1}{2}a + b = 2 + \frac{7}{3} = \frac{13}{3}$$ 12. Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel: $$\begin{cases} a - 2b = 4 \\ -\frac{1}{2}a + b = \frac{13}{3} \end{cases}$$ 13. Kalikan persamaan kedua dengan 2: $$-a + 2b = \frac{26}{3}$$ 14. Tambahkan persamaan pertama dan hasil kali persamaan kedua: $$(a - 2b) + (-a + 2b) = 4 + \frac{26}{3} \Rightarrow 0 = \frac{38}{3}$$ Ini kontradiksi, berarti ada kesalahan pada substitusi atau penulisan matriks B. 15. Periksa kembali matriks B, terdapat kesalahan penulisan pada elemen baris 3 kolom 2, seharusnya $(-\frac{1}{2})a + b$ bukan $(-\frac{1}{2})a + b$ (tidak ada variabel b di situ). Asumsi elemen baris 3 kolom 2 adalah $(-\frac{1}{2})a + b$. 16. Jika kita anggap elemen baris 3 kolom 2 adalah $(-\frac{1}{2})a + b$, maka persamaan keempat adalah benar. 17. Karena ada kontradiksi, kita asumsikan elemen baris 3 kolom 2 adalah $(-\frac{1}{2})a + b$ dan ulangi langkah 11-14 dengan benar. 18. Dari persamaan kedua: $$2a + b = 2$$ 19. Dari persamaan pertama: $$2a + b + \frac{1}{2}c = -\frac{3}{2}$$ Substitusi $2a + b = 2$: $$2 + \frac{1}{2}c = -\frac{3}{2} \Rightarrow c = -7$$ 20. Dari persamaan ketiga: $$a + c - 2b = -3$$ Substitusi $c = -7$: $$a - 7 - 2b = -3 \Rightarrow a - 2b = 4$$ 21. Dari persamaan keempat: $$-\frac{1}{2}a + b + \frac{1}{3}c = 2$$ Substitusi $c = -7$: $$-\frac{1}{2}a + b - \frac{7}{3} = 2 \Rightarrow -\frac{1}{2}a + b = \frac{13}{3}$$ 22. Kalikan persamaan keempat dengan 2: $$-a + 2b = \frac{26}{3}$$ 23. Tambahkan persamaan 20 dan 22: $$(a - 2b) + (-a + 2b) = 4 + \frac{26}{3} \Rightarrow 0 = \frac{38}{3}$$ 24. Kontradiksi tetap ada, sehingga kemungkinan ada kesalahan pada soal atau penulisan matriks B. 25. Karena tidak ada solusi konsisten untuk $a$, $b$, $c$, kita lanjut ke soal berikutnya dengan asumsi nilai $a$, $b$, $c$, $d$ tidak dapat ditentukan secara konsisten. 26. Substitusikan nilai $a$, $b$, $c$, $d$ ke matriks B (tidak dapat dilakukan karena nilai tidak konsisten). 27. Hitung $A \times B$ tidak dapat dilakukan tanpa nilai $a$, $b$, $c$, $d$. 28. Untuk invers matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & m & 3 \\ 1 & n & 5 \\ 4 & 3 & 1 \end{bmatrix}$, gunakan rumus invers matriks 3x3: 29. Hitung determinan $\det(A)$: $$\det(A) = 2(n \times 1 - 5 \times 3) - m(1 \times 1 - 5 \times 4) + 3(1 \times 3 - n \times 4)$$ $$= 2(n - 15) - m(1 - 20) + 3(3 - 4n)$$ $$= 2n - 30 + 19m + 9 - 12n = -10n + 19m - 21$$ 30. Jika $\det(A) \neq 0$, invers ada dan dihitung dengan matriks kofaktor dan transpose kofaktor. 31. Matriks kofaktor $C$ elemen $C_{ij}$ adalah $(-1)^{i+j}$ kali determinan minor elemen $a_{ij}$. 32. Hitung kofaktor: - $C_{11} = \det \begin{bmatrix} n & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = n \times 1 - 5 \times 3 = n - 15$ - $C_{12} = -\det \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} = -(1 \times 1 - 5 \times 4) = -(1 - 20) = 19$ - $C_{13} = \det \begin{bmatrix} 1 & n \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = 1 \times 3 - n \times 4 = 3 - 4n$ - $C_{21} = -\det \begin{bmatrix} m & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = -(m \times 1 - 3 \times 3) = -(m - 9) = 9 - m$ - $C_{22} = \det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} = 2 \times 1 - 3 \times 4 = 2 - 12 = -10$ - $C_{23} = -\det \begin{bmatrix} 2 & m \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = -(2 \times 3 - m \times 4) = -(6 - 4m) = 4m - 6$ - $C_{31} = \det \begin{bmatrix} m & 3 \\ n & 5 \end{bmatrix} = m \times 5 - 3 \times n = 5m - 3n$ - $C_{32} = -\det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} = -(2 \times 5 - 3 \times 1) = -(10 - 3) = -7$ - $C_{33} = \det \begin{bmatrix} 2 & m \\ 1 & n \end{bmatrix} = 2n - m$ 33. Matriks kofaktor: $$C = \begin{bmatrix} n - 15 & 19 & 3 - 4n \\ 9 - m & -10 & 4m - 6 \\ 5m - 3n & -7 & 2n - m \end{bmatrix}$$ 34. Invers matriks $A$ adalah: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-10n + 19m - 21} \begin{bmatrix} n - 15 & 9 - m & 5m - 3n \\ 19 & -10 & -7 \\ 3 - 4n & 4m - 6 & 2n - m \end{bmatrix}$$ 35. Jadi, invers matriks $A$ tergantung pada nilai $m$ dan $n$ dan ada jika $\det(A) \neq 0$. Jawaban akhir: - Nilai $a$, $b$, $c$, dan $d$ tidak dapat ditentukan secara konsisten dari persamaan yang diberikan. - Invers matriks $A$ adalah $$A^{-1} = \frac{1}{-10n + 19m - 21} \begin{bmatrix} n - 15 & 9 - m & 5m - 3n \\ 19 & -10 & -7 \\ 3 - 4n & 4m - 6 & 2n - m \end{bmatrix}$$ dengan syarat $\det(A) \neq 0$.