1. **Nyatakan masalah:** Kita diminta untuk membuktikan bahwa dua matriks saling dapat dipertukarkan (komutatif) pada soal nomor 27(a), dan pada soal nomor 29, membuktikan bahwa tiga matriks anti-komutasi satu sama lain. --- ### Soal 27(a): Matriks saling dapat dipertukarkan Diberikan: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} -2 & -1 & -6 \\ 3 & 2 & 9 \\ -1 & -1 & -4 \end{bmatrix} $$ **Langkah 1:** Definisi matriks saling dapat dipertukarkan adalah: $$AB = BA$$ **Langkah 2:** Hitung hasil perkalian matriks $AB$ dan $BA$. Hitung $AB$: $$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & -1 & -6 \\ 3 & 2 & 9 \\ -1 & -1 & -4 \end{bmatrix}$$ Baris 1 kolom 1: $$1 \times (-2) + 2 \times 3 + 3 \times (-1) = -2 + 6 - 3 = 1$$ Baris 1 kolom 2: $$1 \times (-1) + 2 \times 2 + 3 \times (-1) = -1 + 4 - 3 = 0$$ Baris 1 kolom 3: $$1 \times (-6) + 2 \times 9 + 3 \times (-4) = -6 + 18 - 12 = 0$$ Baris 2 kolom 1: $$3 \times (-2) + 2 \times 3 + 0 \times (-1) = -6 + 6 + 0 = 0$$ Baris 2 kolom 2: $$3 \times (-1) + 2 \times 2 + 0 \times (-1) = -3 + 4 + 0 = 1$$ Baris 2 kolom 3: $$3 \times (-6) + 2 \times 9 + 0 \times (-4) = -18 + 18 + 0 = 0$$ Baris 3 kolom 1: $$-1 \times (-2) + (-1) \times 3 + (-1) \times (-1) = 2 - 3 + 1 = 0$$ Baris 3 kolom 2: $$-1 \times (-1) + (-1) \times 2 + (-1) \times (-1) = 1 - 2 + 1 = 0$$ Baris 3 kolom 3: $$-1 \times (-6) + (-1) \times 9 + (-1) \times (-4) = 6 - 9 + 4 = 1$$ Jadi, $$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$ Hitung $BA$: $$BA = \begin{bmatrix} -2 & -1 & -6 \\ 3 & 2 & 9 \\ -1 & -1 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$ Baris 1 kolom 1: $$-2 \times 1 + (-1) \times 3 + (-6) \times (-1) = -2 - 3 + 6 = 1$$ Baris 1 kolom 2: $$-2 \times 2 + (-1) \times 2 + (-6) \times (-1) = -4 - 2 + 6 = 0$$ Baris 1 kolom 3: $$-2 \times 3 + (-1) \times 0 + (-6) \times (-1) = -6 + 0 + 6 = 0$$ Baris 2 kolom 1: $$3 \times 1 + 2 \times 3 + 9 \times (-1) = 3 + 6 - 9 = 0$$ Baris 2 kolom 2: $$3 \times 2 + 2 \times 2 + 9 \times (-1) = 6 + 4 - 9 = 1$$ Baris 2 kolom 3: $$3 \times 3 + 2 \times 0 + 9 \times (-1) = 9 + 0 - 9 = 0$$ Baris 3 kolom 1: $$-1 \times 1 + (-1) \times 3 + (-4) \times (-1) = -1 - 3 + 4 = 0$$ Baris 3 kolom 2: $$-1 \times 2 + (-1) \times 2 + (-4) \times (-1) = -2 - 2 + 4 = 0$$ Baris 3 kolom 3: $$-1 \times 3 + (-1) \times 0 + (-4) \times (-1) = -3 + 0 + 4 = 1$$ Jadi, $$BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$ **Langkah 3:** Karena $AB = BA = I$, maka matriks $A$ dan $B$ saling dapat dipertukarkan. --- ### Soal 29: Matriks anti-komutasi Diberikan tiga matriks: $$ M_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad M_2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad M_3 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} $$ **Langkah 1:** Definisi anti-komutasi: $$M_i M_j + M_j M_i = 0, \quad \text{untuk } i \neq j$$ **Langkah 2:** Hitung $M_1 M_2 + M_2 M_1$. Hitung $M_1 M_2$: $$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times 0 + 1 \times 0 & 0 \times (-i) + 1 \times 0 \\ i \times 0 + 0 \times 0 & i \times (-i) + 0 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ Hitung $M_2 M_1$: $$\begin{bmatrix} 0 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times 0 + (-i) \times i & 0 \times 1 + (-i) \times 0 \\ 0 \times 0 + 0 \times i & 0 \times 1 + 0 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Jumlahkan: $$M_1 M_2 + M_2 M_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \neq 0$$ Namun, ini bertentangan dengan klaim soal. Mari kita cek kembali definisi dan perhitungan. **Catatan:** Matriks $M_2$ memiliki baris kedua nol, sehingga perkalian $M_1 M_2$ dan $M_2 M_1$ harus diperiksa ulang. Hitung ulang $M_1 M_2$: Baris 1 kolom 1: $$0 \times 0 + 1 \times 0 = 0$$ Baris 1 kolom 2: $$0 \times (-i) + 1 \times 0 = 0$$ Baris 2 kolom 1: $$i \times 0 + 0 \times 0 = 0$$ Baris 2 kolom 2: $$i \times (-i) + 0 \times 0 = -i^2 = 1$$ Hitung ulang $M_2 M_1$: Baris 1 kolom 1: $$0 \times 0 + (-i) \times i = -i^2 = 1$$ Baris 1 kolom 2: $$0 \times 1 + (-i) \times 0 = 0$$ Baris 2 kolom 1: $$0 \times 0 + 0 \times i = 0$$ Baris 2 kolom 2: $$0 \times 1 + 0 \times 0 = 0$$ Jumlah: $$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ Ini adalah matriks identitas, bukan nol. Jadi $M_1$ dan $M_2$ tidak anti-komutasi. **Langkah 3:** Periksa pasangan lain $M_1$ dan $M_3$. Hitung $M_1 M_3$: $$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times i + 1 \times 0 & 0 \times 0 + 1 \times (-i) \\ i \times i + 0 \times 0 & i \times 0 + 0 \times (-i) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$ Hitung $M_3 M_1$: $$\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i \times 0 + 0 \times i & i \times 1 + 0 \times 0 \\ 0 \times 0 + (-i) \times i & 0 \times 1 + (-i) \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Jumlahkan: $$M_1 M_3 + M_3 M_1 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Jadi, $M_1$ dan $M_3$ anti-komutasi. **Langkah 4:** Periksa pasangan $M_2$ dan $M_3$. Hitung $M_2 M_3$: $$\begin{bmatrix} 0 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times i + (-i) \times 0 & 0 \times 0 + (-i) \times (-i) \\ 0 \times i + 0 \times 0 & 0 \times 0 + 0 \times (-i) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i \times -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Hitung $M_3 M_2$: $$\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i \times 0 + 0 \times 0 & i \times (-i) + 0 \times 0 \\ 0 \times 0 + (-i) \times 0 & 0 \times (-i) + (-i) \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i^2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Jumlahkan: $$M_2 M_3 + M_3 M_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq 0$$ Jadi, $M_2$ dan $M_3$ tidak anti-komutasi. **Kesimpulan:** Dari perhitungan, hanya $M_1$ dan $M_3$ yang anti-komutasi. Jika soal menyatakan ketiganya saling anti-komutasi, mungkin ada kesalahan penulisan atau definisi matriks. Namun, langkah-langkah di atas menunjukkan cara memeriksa anti-komutasi secara rinci. --- **Jawaban akhir:** - Pada soal 27(a), matriks $A$ dan $B$ saling dapat dipertukarkan karena $AB = BA = I$. - Pada soal 29, hanya pasangan $M_1$ dan $M_3$ yang anti-komutasi, sedangkan pasangan lainnya tidak.