1. Soal pertama meminta kita menjelaskan perbedaan dan persamaan antara invers biasa (regular inverse) dan invers umum (generalized inverse) beserta contohnya. 2. Invers biasa dari matriks $A$ adalah matriks $A^{-1}$ yang memenuhi $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, di mana $I$ adalah matriks identitas. Invers ini hanya ada jika $A$ adalah matriks persegi dan nonsingular (determinannya tidak nol). 3. Invers umum (generalized inverse) adalah matriks yang memenuhi kondisi lebih longgar, digunakan untuk matriks yang tidak persegi atau singular. Contoh invers umum adalah invers Moore-Penrose. 4. Contoh invers biasa: Jika $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$, maka inversnya adalah $A^{-1} = \frac{1}{(1)(4)-(2)(3)} \begin{bmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{bmatrix}$. 5. Contoh invers umum: Untuk matriks $B = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}$ (1x3), invers Moore-Penrose adalah $B^{+} = B^T (BB^T)^{-1} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix} \frac{1}{14} = \begin{bmatrix}0.0714 \\ 0.1429 \\ 0.2143\end{bmatrix}$. 6. Soal kedua a) meminta invers matriks $A$ menggunakan metode Adjoint. 7. Matriks $A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{bmatrix}$. 8. Hitung determinan $|A|$: $$|A| = 2(2\cdot2 - (-1)(-1)) - (-1)(-1\cdot2 - (-1)\cdot0) + 0 = 2(4 - 1) - (-1)(-2 - 0) + 0 = 2\times3 - 1\times2 = 6 - 2 = 4$$ 9. Hitung kofaktor setiap elemen dan buat matriks kofaktor: $$C = \begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix}$$ 10. Transpose matriks kofaktor untuk mendapatkan adjoint: $$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix}$$ 11. Invers matriks $A$ adalah: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.75 & 0.5 & 0.25 \\ 0.5 & 1 & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 & 0.75\end{bmatrix}$$ 12. Soal kedua b) meminta invers matriks $A$ menggunakan metode transformasi elementer (operasi baris). 13. Gabungkan matriks $A$ dengan matriks identitas $I$ menjadi $[A|I]$ dan lakukan operasi baris untuk mengubah $A$ menjadi $I$. 14. Setelah operasi baris selesai, matriks di sebelah kanan akan menjadi $A^{-1}$. 15. Hasil akhir invers sama dengan hasil metode adjoint: $$A^{-1} = \begin{bmatrix}0.75 & 0.5 & 0.25 \\ 0.5 & 1 & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 & 0.75\end{bmatrix}$$ 16. Soal kedua c) meminta dua sifat penting invers matriks dan pembuktian salah satunya menggunakan matriks $A$. 17. Dua sifat penting invers matriks: - $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ - $(A^{-1})^{-1} = A$ 18. Buktikan sifat $AA^{-1} = I$: Hitung perkalian: $$A A^{-1} = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0.75 & 0.5 & 0.25 \\ 0.5 & 1 & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 & 0.75\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = I$$ 19. Ini membuktikan bahwa invers yang ditemukan benar dan sifat invers matriks berlaku.