1. Énoncé du problème : Résoudre les équations de la forme $\ln(u(x)) = m$ où $u(x)$ est une expression en $x$ et $m$ un nombre réel. 2. Rappel de la formule : Si $\ln(u(x)) = m$, alors $u(x) = e^m$. 3. Important : La fonction logarithme népérien $\ln$ est définie uniquement pour $u(x) > 0$. Il faut donc vérifier la condition de domaine pour chaque solution. --- Exercice 39 : a) $\ln(x + 3) = 1$ - On a $x + 3 = e^1 = e$. - Donc $x = e - 3$. - Condition : $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$, ce qui est vrai pour $x = e - 3$ car $e \approx 2.718$. b) $\ln(x + 1) = -3$ - $x + 1 = e^{-3}$. - $x = e^{-3} - 1$. - Condition : $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$, ce qui est vrai car $e^{-3} \approx 0.0498$. c) $\ln(1 - x) = 2$ - $1 - x = e^2$. - $x = 1 - e^2$. - Condition : $1 - x > 0 \Rightarrow x < 1$, ce qui est vrai car $e^2 \approx 7.389$ donc $1 - e^2 < 1$. d) $\ln(2 + 5x) = 0$ - $2 + 5x = e^0 = 1$. - $5x = 1 - 2 = -1$. - $x = -\frac{1}{5} = -0.2$. - Condition : $2 + 5x > 0 \Rightarrow 2 + 5(-0.2) = 2 - 1 = 1 > 0$, valide. --- Exercice 40 : a) $\ln(2 - 5x) = 0$ - $2 - 5x = 1$. - $-5x = -1$. - $x = \frac{1}{5} = 0.2$. - Condition : $2 - 5x > 0 \Rightarrow 2 - 5(0.2) = 2 - 1 = 1 > 0$, valide. b) $\ln(\sqrt{x}) = -1$ - $\sqrt{x} = e^{-1} = \frac{1}{e}$. - $x = \left(\frac{1}{e}\right)^2 = e^{-2}$. - Condition : $x > 0$, ce qui est vrai. c) $\ln(x^2) = 9$ - $x^2 = e^9$. - $x = \pm e^{\frac{9}{2}}$. - Condition : $x^2 > 0$ toujours vraie sauf $x=0$. d) $\ln\left(\frac{1}{x^2 - 9}\right) = -2$ - $\frac{1}{x^2 - 9} = e^{-2}$. - $x^2 - 9 = e^2$. - $x^2 = 9 + e^2$. - $x = \pm \sqrt{9 + e^2}$. - Condition : $\frac{1}{x^2 - 9} > 0$ donc $x^2 - 9 > 0 \Rightarrow x^2 > 9$. - Les solutions $\pm \sqrt{9 + e^2}$ satisfont cette condition car $9 + e^2 > 9$. --- Réponses finales : 39a) $x = e - 3$ 39b) $x = e^{-3} - 1$ 39c) $x = 1 - e^2$ 39d) $x = -\frac{1}{5}$ 40a) $x = \frac{1}{5}$ 40b) $x = e^{-2}$ 40c) $x = \pm e^{\frac{9}{2}}$ 40d) $x = \pm \sqrt{9 + e^2}$