1. Énonçons le problème : Montrer que pour trois nombres réels positifs $x,y,z$ tels que $x+y+z=1$, on a $$\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1} \leq 4.$$\n\n2. Rappelons que la fonction $f(t) = \sqrt{2t+1}$ est concave sur $[0,1]$ car sa dérivée seconde est négative : $$f''(t) = -\frac{2}{4(2t+1)^{3/2}} < 0.$$\n\n3. Par l'inégalité de Jensen pour une fonction concave, on a : $$\frac{f(x) + f(y) + f(z)}{3} \leq f\left(\frac{x+y+z}{3}\right).$$\n\n4. Comme $x+y+z=1$, on obtient : $$\frac{\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1}}{3} \leq \sqrt{2 \cdot \frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{2}{3} + 1} = \sqrt{\frac{5}{3}}.$$\n\n5. Donc : $$\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1} \leq 3 \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{45} / \sqrt{3} = 3 \sqrt{\frac{5}{3}} \approx 3.87 < 4.$$\n\n6. Pour montrer l'inégalité stricte $\leq 4$, on peut vérifier que la somme atteint son maximum lorsque deux variables sont nulles et l'autre égale à 1, par exemple $x=1,y=0,z=0$ : $$\sqrt{2\cdot1+1} + \sqrt{2\cdot0+1} + \sqrt{2\cdot0+1} = \sqrt{3} + 1 + 1 = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 < 4.$$\n\n7. Ainsi, l'inégalité $$\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1} \leq 4$$ est vraie pour tous $x,y,z \geq 0$ avec $x+y+z=1$.