1. **Énoncé du problème :** Nous devons analyser l'inégalité $$2ab \leq (a+b)\sqrt{ab}$$ et montrer la transformation vers $$2\sqrt{ab} \leq a+b$$ en divisant par $$\sqrt{ab} > 0$$. 2. **Formule et règles importantes :** - Pour tout $$a,b > 0$$, $$\sqrt{ab}$$ est bien défini et strictement positif. - Diviser une inégalité par un nombre strictement positif ne change pas le sens de l'inégalité. 3. **Travail intermédiaire :** - Partant de $$2ab \leq (a+b)\sqrt{ab}$$ - Divisons chaque membre par $$\sqrt{ab}$$ (qui est positif) : $$\frac{2ab}{\sqrt{ab}} \leq \frac{(a+b)\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$$ - Simplifions : $$2a b \div \sqrt{a b} = 2 \sqrt{a b}$$ $$\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} = a + b$$ - Ainsi, on obtient : $$2\sqrt{ab} \leq a + b$$ 4. **Interprétation pédagogique :** - Cette inégalité est une forme de l'inégalité arithmético-géométrique (AM-GM) qui dit que la moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique. - Ici, $$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$$, ce qui est équivalent à $$a+b \geq 2\sqrt{ab}$$. - La division par $$\sqrt{ab}$$ est valide car $$a,b > 0$$, garantissant que $$\sqrt{ab} > 0$$. 5. **Conclusion :** L'inégalité initiale $$2ab \leq (a+b)\sqrt{ab}$$ est équivalente à $$2\sqrt{ab} \leq a + b$$ après division par $$\sqrt{ab}$$, ce qui confirme la validité de la manipulation et illustre l'inégalité AM-GM.