1. **Exercice 6** Étudier l'injectivité et surjectivité de $f(x) = x^4 - 2x^2 + 2$. 2. **Injectivité de $f$ :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1).$$ Les points critiques sont $x=-1, 0, 1$. Examinons le signe de $f'$ : - Pour $x < -1$, $f'(x) < 0$ - Pour $-1 < x < 0$, $f'(x) > 0$ - Pour $0 < x < 1$, $f'(x) < 0$ - Pour $x > 1$, $f'(x) > 0$ La fonction n'est donc pas monotone sur $ $, par conséquent **$f$ n'est pas injective**. 3. **Surjectivité de $f$ :** Étudions l'image de $f$. Posons $y = x^4 - 2x^2 + 2$. Regardons $g(t) = t^2 - 2t + 2$, posant $t = x^2 o t ge 0$. Minimum de $g$ : $$g'(t) = 2t - 2 = 0 \ \ o t = 1.$$ $$g(1) = 1 - 2 + 2 = 1.$$ Comme $t = x^2 ge 0$, la valeur minimale de $f$ est $1$. Donc $f( ) = [1, +222[.$ Ainsi $f$ n'est **pas surjective** sur $ $ puisque son image ne contient pas de valeurs moins que 1. 4. **Déterminer $f((0,1))$ :** Comme $f$ est dérivable, on étudie $f$ sur $(0,1)$ : Sur $(0,1)$, puisque $f'$ est négative (car entre 0 et 1, $f'(x) < 0$), $f$ est décroissante. Calculons les bornes : $$f(0) = 2,$$ $$f(1) = 1^4 - 2 imes 1^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1.$$ Donc $f((0,1)) = (1, 2).$ --- 5. **Exercice 7** Pour $f(x) = 2^x$, $I = [0,1]$: - $f$ est strictement croissante sur $ $, donc bijection de $I$ sur $J = f(I) = [1,2].$ - Inverse : $$f^{-1}(y) = rac{\ln(y)}{\ln(2)} ext{ pour } y \\in J.$$ 6. Pour $f(x) = e^{2x}$, $I=[0,+222[$: - $f$ strictement croissante, bijection de $I$ vers $J = [1, +222[.$ - Inverse : $$f^{-1}(y) = rac{1}{2} \\ln(y).$$ --- 7. **Exercice 7'** $f(n) = 2n$, $g$ définie par $$g(n) = \begin{cases} \frac{3}{2} & \text{si } n \text{ pair} \\ \frac{1}{2} & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}.$$ - $f$ est injective car $2n=2m \Rightarrow n=m$; - $f$ n'est pas surjective car seules les images paires sont obtenues; - $g$ est constante sur pairs puis constante sur impairs, donc **pas injective**; - $g$ image $\subset \left\{ \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right\}$, donc pas surjective sur $ n$. 8. **Composition** : - $g \circ f (n) = g(2n) = 3/2$ (car $2n$ pair) donc $g \circ f$ constante à $3/2$, non injective, non surjective. - $f \circ g(n) = f\left( \frac{3}{2} \text{ ou } \frac{1}{2} \right)$ ne fait pas sens strictement comme $f : n o n$ uniquement défini sur entiers mais en supposant simplification, $f$ appliquée à valeurs non entières pas définie; donc $f \circ g$ pas défini sur $ n$. --- 9. **Exercice 8** $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ sur $ $. - Calculons $f$ pour $x=-1,0, \frac{1}{2}, 2$ : $$f(-1) = \frac{-2}{1+1} = -1,$$ $$f(0) = 0,$$ $$f(\frac{1}{2}) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{1.25} = 0.8,$$ $$f(2) = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5} = 0.8.$$ Donc $f(\\{-1,0,\frac{1}{2},2\}) = \\{-1,0,0.8\}.$ - Trouvons $f^{-1}(\{1,2\})$ : $f(x)$ est toujours dans $[-1,1]$ (voir plus bas), donc 2 n’est pas atteint, $f^{-1}(2) = \emptyset$. Pour $y=1$, résoudre : $$\frac{2x}{1+x^2} = 1 \Rightarrow 2x = 1 + x^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0,$$ Donc $x=1$ est solution unique. Donc $f^{-1}(\{1,2\}) = \{1\}.$ 10. **Injectivité et surjectivité :** Dérivée : $$f'(x) = \frac{2(1+x^2) - 2x imes 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2}.$$ - $f'(x) =0$ pour $x= \pm 1$. - $f'$ positive pour $|x| < 1$, négative pour $|x| >1$. Donc $f$ n’est pas injective sur $ $. 11. **Valeurs de $f$ :** Les limites : $$\lim_{x o \\pm \\infty} f(x) = 0,$$ $$f(1) = \frac{2}{2} = 1,$$ $$f(-1) = \frac{-2}{2}=-1.$$ Donc $f( ) = [-1,1]$, $f$ surjective sur cet intervalle. 12. **Solutions de $f(x) = y$ pour $y \in [-1,1]$ :** Equation : $$\frac{2x}{1+x^2} = y \Rightarrow 2x = y(1 + x^2)\Rightarrow yx^2 - 2x + y = 0.$$ Équation quadratique en $x$ : $$yx^2 - 2x + y = 0.$$ Discriminant : $$\Delta = (-2)^2 - 4y^2 = 4 - 4y^2 = 4(1 - y^2).$$ Pour $y \\in [-1, 1]$, $\Delta \\ge 0$ donc solutions réelles. 13. **Restriction $f: [-1,1] \to [-1,1]$ définie par $f(x) = x^2$:** Le problème semble inachevé, mais on note que $f(x) = \frac{2x}{1+x^2} e x^2$. --- 14. **Exercice 9** (énoncé incomplet) Comparons $f(A\cap B)$ et $f(A) \cap f(B)$, déterminer $f(f(A))$ et $f^{-1}(A)$ suivant applications données. --- **Résumé:** - Ex6 : $f$ n’est pas injective ni surjective sur $ $. $f((0,1))=(1,2)$. - Ex7 : $f(x) = 2^x$ et $f(x) = e^{2x}$ sont bijections sur domaines donnés, inverses donnés. - Ex7' : $f$ injective mais pas surjective; $g$ ni injective ni surjective. - Ex8 : $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ n’est pas injective sur $ $, image $[-1,1]$, solutions de $f(x)=y$ iff $y \in [-1,1]$.