1. Énonçons le problème : Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|x| = 0$ si et seulement si $x = 0$. 2. Rappelons la définition de la valeur absolue : $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$ Cela signifie que la valeur absolue d'un nombre réel est toujours positive ou nulle. 3. Montrons la double implication : - $(\Rightarrow)$ Supposons que $|x| = 0$. Par définition, $|x| \geq 0$ toujours, donc la seule façon que $|x| = 0$ est que $x$ soit nul. En effet, si $x > 0$, alors $|x| = x > 0$, et si $x < 0$, alors $|x| = -x > 0$. Donc $x = 0$. - $(\Leftarrow)$ Supposons que $x = 0$. Alors par définition, $|0| = 0$. 4. Conclusion : $$|x| = 0 \iff x = 0$$ Cette propriété est fondamentale en analyse et garantit que la valeur absolue est nulle uniquement en zéro.