1. Énoncé du problème : Compléter le tableau avec les valeurs absolues, distances, intervalles et encadrements donnés. 2. Pour la première ligne, les données sont déjà complètes : - $|x + 5| \leq 1$ - $d(x, -4) \leq 2$ - $x \in [6; 10]$ - $-3 \leq x \leq 5$ 3. Deuxième ligne : $|10x + 5| \leq 0,1$ - On résout l'inéquation : $$|10x + 5| \leq 0,1$$ - Cela signifie que $$-0,1 \leq 10x + 5 \leq 0,1$$ - Soustrayons 5 de chaque côté : $$-0,1 - 5 \leq 10x \leq 0,1 - 5$$ $$-5,1 \leq 10x \leq -4,9$$ - Divisons par 10 : $$-0,51 \leq x \leq -0,49$$ - Donc l'intervalle est $x \in [-0,51; -0,49]$ - La distance correspondante est $d(x, -0,5) \leq 0,01$ car $-0,5$ est le centre de l'intervalle et la moitié de la longueur est $0,01$ - L'encadrement est donc $-0,51 \leq x \leq -0,49$ 4. Troisième ligne : $|5x - 8| \geq 1$ - Cette inéquation signifie que la distance entre $5x$ et 8 est au moins 1. - On écrit : $$|5x - 8| \geq 1$$ - Cela équivaut à $$5x - 8 \leq -1 \quad \text{ou} \quad 5x - 8 \geq 1$$ - Résolvons chaque inéquation : $$5x \leq 7 \Rightarrow x \leq \frac{7}{5} = 1,4$$ $$5x \geq 9 \Rightarrow x \geq \frac{9}{5} = 1,8$$ - Donc l'ensemble des solutions est $$x \in (-\infty, 1,4] \cup [1,8, +\infty)$$ - La distance correspondante est $d(x, \frac{8}{5}) \geq \frac{1}{5} = 0,2$ - L'encadrement est donc $x \leq 1,4$ ou $x \geq 1,8$ 5. Résumé du tableau complété : | Valeur absolue | Distance | Intervalle(s) | Encadrement | |----------------|----------|---------------|-------------| | $|x + 5| \leq 1$ | $d(x, -4) \leq 2$ | $x \in [6; 10]$ | $-3 \leq x \leq 5$ | | $|10x + 5| \leq 0,1$ | $d(x, -0,5) \leq 0,01$ | $x \in [-0,51; -0,49]$ | $-0,51 \leq x \leq -0,49$ | | $|5x - 8| \geq 1$ | $d(x, 1,6) \geq 0,2$ | $x \in (-\infty, 1,4] \cup [1,8, +\infty)$ | $x \leq 1,4$ ou $x \geq 1,8$ |