1. **Énoncé du problème :** Calculer les valeurs absolues données dans l'exercice 1. 2. **Définition :** La valeur absolue $|a|$ est la distance de $a$ à zéro sur la droite des réels, donc toujours positive ou nulle. 3. **Calculs :** - $|5| = 5$ - $|0| = 0$ - $|7| = 7$ - $|-7| = 7$ - $|-1| = 1$ - $|-1000000| = 1000000$ - $|-9| = 9$ - $|12 - 7| = |5| = 5$ - $|9 + 5| = |14| = 14$ - $|0| + |5| = 0 + 5 = 5$ - $|-7| + |12| = 7 + 12 = 19$ - $|\pi - 4| = |3.1416 - 4| = | -0.8584| = 0.8584$ - $|-7 + 12| = |5| = 5$ - $|\sqrt{2} - 1| = |1.4142 - 1| = 0.4142$ - $|10^{-9}| = 10^{-9}$ (très petit positif) - $|-10^{4}| = 10^{4} = 10000$ 4. **Exercice 2 : Résolution d'équations avec valeur absolue** - a. $|x + 3| = 8$ donne $x + 3 = 8 \Rightarrow x = 5$ ou $x + 3 = -8 \Rightarrow x = -11$ donc $S = \{-11, 5\}$ - b. $|x - 5| = 3$ donne $x - 5 = 3 \Rightarrow x = 8$ ou $x - 5 = -3 \Rightarrow x = 2$ donc $S = \{2, 8\}$ - c. $|12 - x| = 9$ donne $12 - x = 9 \Rightarrow x = 3$ ou $12 - x = -9 \Rightarrow x = 21$ donc $S = \{3, 21\}$ - d. $|2x - 5| = 3$ donne $2x - 5 = 3 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ ou $2x - 5 = -3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$ donc $S = \{1, 4\}$ 5. **Exercice 3 : Résolution graphique des inégalités** - a. $|x - 7| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x - 7 \leq 1 \Rightarrow 6 \leq x \leq 8$ - b. $|x - 1| < 7 \Rightarrow -7 < x - 1 < 7 \Rightarrow -6 < x < 8$ - c. $|x - 3| < 2 \Rightarrow 1 < x < 5$ - d. $|x - 3| \geq 2 \Rightarrow x - 3 \leq -2$ ou $x - 3 \geq 2 \Rightarrow x \leq 1$ ou $x \geq 5$ - e. $|x - 4| \leq 5 \Rightarrow -5 \leq x - 4 \leq 5 \Rightarrow -1 \leq x \leq 9$ - f. $|x - 12| > 7 \Rightarrow x - 12 < -7$ ou $x - 12 > 7 \Rightarrow x < 5$ ou $x > 19$ - g. $|x + 2| \leq 9 \Rightarrow -9 \leq x + 2 \leq 9 \Rightarrow -11 \leq x \leq 7$ - h. $|x + 6| \geq 5 \Rightarrow x + 6 \leq -5$ ou $x + 6 \geq 5 \Rightarrow x \leq -11$ ou $x \geq -1$ - i. $|x - 8.3| \leq 0.1 \Rightarrow 8.2 \leq x \leq 8.4$ - j. $|x - 5000| \geq 1000 \Rightarrow x - 5000 \leq -1000$ ou $x - 5000 \geq 1000 \Rightarrow x \leq 4000$ ou $x \geq 6000$ 6. **Exercice 4 : Écriture sans valeur absolue** - $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$ car $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$ - $|\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3}$ car $\sqrt{3} \approx 1.732 < 2$ - $|5\sqrt{2} - 7| = |7.071 - 7| = 0.071$ 7. **Exercice 5 : Interprétation en termes de distances** - $A = x - \frac{7}{3}$ est la distance signée entre $x$ et $\frac{7}{3}$ - $B = x + \frac{3}{4} = x - (-\frac{3}{4})$ distance signée entre $x$ et $-\frac{3}{4}$ - $C = |-x - 3| = |-(x + 3)| = |x + 3|$ distance entre $x$ et $-3$ - $D = |-7 + 2x| = |2x - 7|$ distance entre $2x$ et $7$ 8. **Exercice 6 : Écriture sans valeur absolue** - $E = |x + 15| = \begin{cases} x + 15 & \text{si } x \geq -15 \\ -(x + 15) & \text{si } x < -15 \end{cases}$ - $F = |2x + 1| = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x + 1) & \text{si } x < -\frac{1}{2} \end{cases}$ - $G = |\frac{4}{5} - x| = \begin{cases} \frac{4}{5} - x & \text{si } x \leq \frac{4}{5} \\ x - \frac{4}{5} & \text{si } x > \frac{4}{5} \end{cases}$ 9. **Exercice 7 : Compléter le tableau des inégalités et intervalles** (voir exercice 3 pour les réponses) **Réponse finale :** Les solutions des exercices sont données ci-dessus avec explications détaillées.