1. **Énoncé du problème :** On considère le trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a$ et $c$ réels. Le signe de $P(x)$ est donné par le tableau : | $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $\frac{1}{7}$ | $+\infty$ | |----------|------------|-------|----------------|------------| | $P(x)$ | $+$ | $-$ | $+$ | Nous devons répondre à plusieurs questions sur $P(x)$. 2. **Signe de $\Delta$ et $a$ :** Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de racines réelles. - Le tableau de signe montre que $P(x)$ change de signe deux fois, donc $P(x)$ a deux racines réelles distinctes. - Les racines sont $x_1 = -3$ et $x_2 = \frac{1}{7}$. - Le signe de $P(x)$ est positif avant $x_1$, négatif entre $x_1$ et $x_2$, puis positif après $x_2$. Cela signifie que le coefficient dominant $a$ est positif (car $P(x) \to +\infty$ quand $x \to \pm \infty$). Donc : $$a > 0$$ Le discriminant est strictement positif car il y a deux racines réelles distinctes : $$\Delta > 0$$ 3. **Comparer $P(-\pi)$ et $P(-\sqrt{5})$ :** - $-\pi \approx -3.14$ est inférieur à $-3$. - $-\sqrt{5} \approx -2.236$ est entre $-3$ et $\frac{1}{7}$. D'après le tableau de signe : - Pour $x < -3$, $P(x) > 0$ donc $P(-\pi) > 0$. - Pour $-3 < x < \frac{1}{7}$, $P(x) < 0$ donc $P(-\sqrt{5}) < 0$. Ainsi : $$P(-\pi) > P(-\sqrt{5})$$ 4. **Signe de $P\left(\frac{1}{m^2+1}\right)$ avec $m \in \mathbb{R}$ :** - $m^2 + 1 > 0$ pour tout $m \in \mathbb{R}$. - Donc $\frac{1}{m^2+1} \in (0,1]$. Le point $\frac{1}{m^2+1}$ est toujours dans l'intervalle $\left(0,1\right]$ qui est strictement supérieur à $\frac{1}{7} \approx 0.142857$. D'après le tableau, pour $x > \frac{1}{7}$, $P(x) > 0$. Donc : $$P\left(\frac{1}{m^2+1}\right) > 0$$ 5. **Vérifier que $a - b + c < 0$ :** On sait que : $$P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$$ Mais on veut $a - b + c < 0$. Considérons $P(-1)$ : $$P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$$ Pour vérifier le signe de $a - b + c$, on regarde le signe de $P(-1)$. - $-1$ est dans l'intervalle $(-3, \frac{1}{7})$ car $-3 < -1 < 0.142857$. - Dans cet intervalle, $P(x) < 0$. Donc : $$a - b + c = P(-1) < 0$$ 6. **Résoudre l'inéquation $\frac{P(x)}{2x^2 - 5x + 3} \geq 0$ :** - Dénominateur : $2x^2 - 5x + 3$. - Calculons ses racines : $$\Delta_d = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1 > 0$$ $$x_{d1} = \frac{5 - 1}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$x_{d2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ Le signe de $2x^2 - 5x + 3$ est : - Positif pour $x < 1$ et $x > 1.5$ (car coefficient dominant positif). - Négatif pour $1 < x < 1.5$. Le numérateur $P(x)$ est positif sur $(-\infty, -3) \cup (\frac{1}{7}, +\infty)$ et négatif sur $(-3, \frac{1}{7})$. On cherche : $$\frac{P(x)}{2x^2 - 5x + 3} \geq 0$$ Étudions le signe du quotient par intervalles délimités par les racines : - Racines de $P(x)$ : $-3$, $\frac{1}{7}$ - Racines du dénominateur : $1$, $1.5$ Intervalles : $(-\infty, -3)$, $(-3, \frac{1}{7})$, $(\frac{1}{7}, 1)$, $(1, 1.5)$, $(1.5, +\infty)$ Signes : - $(-\infty, -3)$ : numérateur $+$, dénominateur $+$, quotient $+$ - $(-3, \frac{1}{7})$ : numérateur $-$, dénominateur $+$, quotient $-$ - $(\frac{1}{7}, 1)$ : numérateur $+$, dénominateur $+$, quotient $+$ - $(1, 1.5)$ : numérateur $+$, dénominateur $-$, quotient $-$ - $(1.5, +\infty)$ : numérateur $+$, dénominateur $+$, quotient $+$ Inégalités strictes sauf aux racines du numérateur où le quotient est nul. Solution : $$(-\infty, -3] \cup \left[\frac{1}{7}, 1\right) \cup (1.5, +\infty)$$ 7. **Déterminer $a$, $b$, $c$ tel que $P(0) = -3$ :** - $P(0) = c = -3$ On connaît les racines $x_1 = -3$ et $x_2 = \frac{1}{7}$. Donc : $$P(x) = a(x + 3)\left(x - \frac{1}{7}\right) = a\left(x^2 + \frac{20}{7}x - \frac{3}{7}\right)$$ Développons : $$P(x) = a x^2 + a \frac{20}{7} x - a \frac{3}{7}$$ On a $c = -3 = -a \frac{3}{7} \Rightarrow a = 7$. Donc : $$a = 7, \quad c = -3, \quad b = a \frac{20}{7} = 7 \times \frac{20}{7} = 20$$ **Réponse finale :** $$a = 7, \quad b = 20, \quad c = -3$$