1. **Énoncé du problème** : On transforme le graphique de $y = x^3$ pour obtenir le graphique de $y = 0,5(-3(x - 1))^3 + 4$. Nous devons identifier les paramètres et transformations, remplir un tableau de valeurs, et esquisser le graphique transformé. 2. **a) Paramètres et transformations** : - La fonction de base est $y = x^3$. - Transformation horizontale : $x$ est remplacé par $(x - 1)$, ce qui correspond à une translation horizontale de 1 unité vers la droite. - Transformation d'échelle horizontale : multiplication de $x$ par $-3$ à l'intérieur du cube, ce qui correspond à une compression horizontale par un facteur de $\frac{1}{3}$ et une réflexion par rapport à l'axe $y$ (car le facteur est négatif). - Transformation d'échelle verticale : multiplication par $0,5$, ce qui correspond à une compression verticale par un facteur de $0,5$. - Translation verticale : ajout de $4$, ce qui correspond à une translation verticale de 4 unités vers le haut. 3. **b) Remplissage du tableau** : - Points de base pour $y = x^3$ : $(-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8)$. - Calcul de $y = (-3x)^3 = -27x^3$ : Pour chaque $x$ : $(-2) \to (-3 \times -2)^3 = 6^3 = 216$ $(-1) \to (-3 \times -1)^3 = 3^3 = 27$ $0 \to 0$ $1 \to (-3)^3 = -27$ $2 \to (-6)^3 = -216$ - Calcul de $y = 0,5(-3x)^3 = 0,5 \times (-27x^3) = -13,5x^3$ : $(-2) \to 0,5 \times 216 = 108$ $(-1) \to 0,5 \times 27 = 13,5$ $0 \to 0$ $1 \to 0,5 \times (-27) = -13,5$ $2 \to 0,5 \times (-216) = -108$ - Calcul de $y = 0,5(-3(x - 1))^3 + 4$ : Pour chaque $x$ original, calculons $x - 1$ puis la fonction : $x = -2 \to (-3(-2 - 1))^3 = (-3(-3))^3 = 9^3 = 729$, puis $0,5 \times 729 + 4 = 364,5 + 4 = 368,5$ $x = -1 \to (-3(-1 - 1))^3 = (-3(-2))^3 = 6^3 = 216$, puis $0,5 \times 216 + 4 = 108 + 4 = 112$ $x = 0 \to (-3(0 - 1))^3 = (-3(-1))^3 = 3^3 = 27$, puis $0,5 \times 27 + 4 = 13,5 + 4 = 17,5$ $x = 1 \to (-3(1 - 1))^3 = (-3(0))^3 = 0$, puis $0,5 \times 0 + 4 = 4$ $x = 2 \to (-3(2 - 1))^3 = (-3(1))^3 = (-3)^3 = -27$, puis $0,5 \times (-27) + 4 = -13,5 + 4 = -9,5$ | $x$ | $y = x^3$ | $y = (-3x)^3$ | $y = 0,5(-3x)^3$ | $y = 0,5(-3(x - 1))^3 + 4$ | |-----|-----------|--------------|-----------------|----------------------------| | -2 | -8 | 216 | 108 | 368,5 | | -1 | -1 | 27 | 13,5 | 112 | | 0 | 0 | 0 | 0 | 17,5 | | 1 | 1 | -27 | -13,5 | 4 | | 2 | 8 | -216 | -108 | -9,5 | 4. **c) Esquisse du graphique** : - Le graphique de $y = 0,5(-3(x - 1))^3 + 4$ est une version compressée verticalement et horizontalement, réfléchie horizontalement, puis translatée de $1$ unité à droite et $4$ unités vers le haut du graphique de $y = x^3$. - Les points calculés dans le tableau peuvent être utilisés pour tracer ce graphique. **Réponse finale** : - Paramètres : translation horizontale de 1, compression horizontale par 3, réflexion horizontale, compression verticale par 0,5, translation verticale de 4. - Tableau rempli ci-dessus. - Graphique esquissé selon les points transformés.