1. Énonçons le problème : on a trois nombres positifs $a$, $b$, $c$ tels que $$\frac{1}{c} + \frac{1}{b} + a = \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + c = \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{b} + \frac{1}{a} + c = \frac{1}{3}$$ On doit calculer $2ab + 2ac$. 2. Observons que les deux dernières équations sont identiques : $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + c = \frac{1}{2}$$ et $$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} + c = \frac{1}{3}$$ Cela est impossible sauf si $\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$, ce qui est faux. Il y a donc une erreur dans l'énoncé ou une confusion. 3. Supposons que la troisième équation soit plutôt $$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{3}$$ ce qui est cohérent avec la forme des autres. 4. Posons $$x = \frac{1}{a}, \quad y = \frac{1}{b}, \quad z = \frac{1}{c}$$ Les équations deviennent : $$z + y + a = \frac{1}{4}$$ $$x + y + c = \frac{1}{2}$$ $$y + x + z = \frac{1}{3}$$ 5. Remplaçons $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$, $c = \frac{1}{z}$ dans la première équation : $$z + y + \frac{1}{x} = \frac{1}{4}$$ Dans la deuxième : $$x + y + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$$ Dans la troisième : $$y + x + z = \frac{1}{3}$$ 6. De la troisième équation, on a $$x + y + z = \frac{1}{3}$$ 7. Soustrayons la troisième équation de la première : $$(z + y + \frac{1}{x}) - (x + y + z) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3}$$ $$\frac{1}{x} - x = -\frac{1}{12}$$ 8. Soustrayons la troisième de la deuxième : $$(x + y + \frac{1}{z}) - (x + y + z) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$$ $$\frac{1}{z} - z = \frac{1}{6}$$ 9. On a donc deux équations : $$\frac{1}{x} - x = -\frac{1}{12}$$ $$\frac{1}{z} - z = \frac{1}{6}$$ 10. Résolvons la première : $$\frac{1}{x} - x = -\frac{1}{12} \implies \frac{1 - x^2}{x} = -\frac{1}{12} \implies 1 - x^2 = -\frac{x}{12}$$ $$\implies x^2 - \frac{x}{12} - 1 = 0$$ 11. Résolvons cette équation quadratique en $x$ : $$x = \frac{\frac{1}{12} \pm \sqrt{\left(-\frac{1}{12}\right)^2 + 4}}{2} = \frac{\frac{1}{12} \pm \sqrt{\frac{1}{144} + 4}}{2} = \frac{\frac{1}{12} \pm \sqrt{\frac{577}{144}}}{2}$$ $$= \frac{\frac{1}{12} \pm \frac{\sqrt{577}}{12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{577}}{24}$$ 12. Comme $a = \frac{1}{x}$ est positif, $x$ doit être positif. $\sqrt{577} \approx 24.02$, donc $$x = \frac{1 + 24.02}{24} \approx 1.04$$ 13. De même pour $z$ : $$\frac{1}{z} - z = \frac{1}{6} \implies \frac{1 - z^2}{z} = \frac{1}{6} \implies 1 - z^2 = \frac{z}{6} \implies z^2 + \frac{z}{6} - 1 = 0$$ 14. Résolvons en $z$ : $$z = \frac{-\frac{1}{6} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2 + 4}}{2} = \frac{-\frac{1}{6} \pm \sqrt{\frac{1}{36} + 4}}{2} = \frac{-\frac{1}{6} \pm \sqrt{\frac{145}{36}}}{2}$$ $$= \frac{-\frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{145}}{6}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{145}}{12}$$ 15. $z$ doit être positif, donc $$z = \frac{-1 + \sqrt{145}}{12} \approx \frac{-1 + 12.04}{12} = 0.92$$ 16. De la troisième équation, $$x + y + z = \frac{1}{3} \implies y = \frac{1}{3} - x - z \approx 0.333 - 1.04 - 0.92 = -1.627$$ Ce qui est négatif, or $y = \frac{1}{b}$ doit être positif. Il y a donc une contradiction. 17. Conclusion : les équations données sont incohérentes ou mal formulées. Veuillez vérifier l'énoncé. 18. Sans solution cohérente, on ne peut pas calculer $2ab + 2ac$.