1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux suites définies par récurrence : $$b_0 = 1, \quad b_{m+1} = \frac{a_m + 4b_m}{5}$$ $$a_0 = 2, \quad a_{m+1} = \frac{a_m + b_m}{2}$$ On définit la suite $$U_m = a_m - b_m$$. 2. **Montrer que $(U_m)$ est géométrique et déterminer sa raison :** Calculons $U_{m+1}$ : $$U_{m+1} = a_{m+1} - b_{m+1} = \frac{a_m + b_m}{2} - \frac{a_m + 4b_m}{5}$$ Mettons au même dénominateur : $$U_{m+1} = \frac{5(a_m + b_m) - 2(a_m + 4b_m)}{10} = \frac{5a_m + 5b_m - 2a_m - 8b_m}{10} = \frac{3a_m - 3b_m}{10} = \frac{3}{10}(a_m - b_m) = \frac{3}{10} U_m$$ Donc, $(U_m)$ est une suite géométrique de raison $r = \frac{3}{10}$. 3. **Montrer que $(a_m)$ est décroissante et $(b_m)$ est croissante :** - Pour $(a_m)$ : $$a_{m+1} - a_m = \frac{a_m + b_m}{2} - a_m = \frac{b_m - a_m}{2} = -\frac{U_m}{2}$$ Comme $U_m = a_m - b_m$ et $U_0 = 2 - 1 = 1 > 0$, et $U_m$ est géométrique positive (car $r=0.3>0$), $U_m > 0$ pour tout $m$, donc $a_{m+1} - a_m = -\frac{U_m}{2} < 0$. Donc $(a_m)$ est décroissante. - Pour $(b_m)$ : $$b_{m+1} - b_m = \frac{a_m + 4b_m}{5} - b_m = \frac{a_m - b_m}{5} = \frac{U_m}{5} > 0$$ Donc $(b_m)$ est croissante. 4. **Montrer que $1 \leq b_n \leq a_n \leq 2$ pour tout $n$ :** - Initialement, $b_0 = 1$ et $a_0 = 2$. - Comme $(b_m)$ est croissante et $(a_m)$ décroissante, et $a_m - b_m = U_m > 0$, on a $b_m \leq a_m$. - De plus, $b_m$ est croissante à partir de 1, donc $b_m \geq 1$. - $a_m$ est décroissante à partir de 2, donc $a_m \leq 2$. Ainsi, $1 \leq b_n \leq a_n \leq 2$. 5. **Montrer que $V_m = 2a_m + 5b_m$ est constante et déterminer sa limite :** Calculons $V_{m+1}$ : $$V_{m+1} = 2a_{m+1} + 5b_{m+1} = 2 \cdot \frac{a_m + b_m}{2} + 5 \cdot \frac{a_m + 4b_m}{5} = (a_m + b_m) + (a_m + 4b_m) = 2a_m + 5b_m = V_m$$ Donc $(V_m)$ est constante. Calculons $V_0$ : $$V_0 = 2a_0 + 5b_0 = 2 \times 2 + 5 \times 1 = 4 + 5 = 9$$ Donc $V_m = 9$ pour tout $m$. **Limite de $V_m$ :** Comme $V_m$ est constante, $\lim_{m \to \infty} V_m = 9$. **Résumé final :** - $(U_m)$ est géométrique de raison $\frac{3}{10}$. - $(a_m)$ est décroissante, $(b_m)$ est croissante. - Pour tout $n$, $1 \leq b_n \leq a_n \leq 2$. - $(V_m)$ est constante égale à 9.