1. **Énoncé du problème :** On considère la suite récurrente $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $U_0=3$ et pour tout entier naturel $n$, $4U_{n+1} = U_n + 12$. 2. **Calcul de $U_1$, $U_2$ et $U_3$ :** On utilise la relation de récurrence : $$4U_{n+1} = U_n + 12 \implies U_{n+1} = \frac{U_n + 12}{4}$$ - Pour $n=0$ : $$U_1 = \frac{U_0 + 12}{4} = \frac{3 + 12}{4} = \frac{15}{4}$$ - Pour $n=1$ : $$U_2 = \frac{U_1 + 12}{4} = \frac{\frac{15}{4} + 12}{4} = \frac{\frac{15}{4} + \frac{48}{4}}{4} = \frac{\frac{63}{4}}{4} = \frac{63}{16}$$ - Pour $n=2$ : $$U_3 = \frac{U_2 + 12}{4} = \frac{\frac{63}{16} + 12}{4} = \frac{\frac{63}{16} + \frac{192}{16}}{4} = \frac{\frac{255}{16}}{4} = \frac{255}{64}$$ 3. **Définition de la suite $V_n$ :** On pose $V_n = U_n - 4$. 4. **Montrer que $(V_n)$ est géométrique :** On calcule $V_{n+1}$ : $$V_{n+1} = U_{n+1} - 4 = \frac{U_n + 12}{4} - 4 = \frac{U_n + 12 - 16}{4} = \frac{U_n - 4}{4} = \frac{V_n}{4}$$ Donc, $$V_{n+1} = \frac{1}{4} V_n$$ La suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{4}$. 5. **Calcul de $V_n$ en fonction de $n$ :** Comme $V_0 = U_0 - 4 = 3 - 4 = -1$, on a $$V_n = V_0 \times q^n = -1 \times \left(\frac{1}{4}\right)^n = -\left(\frac{1}{4}\right)^n$$ 6. **Calcul de $U_n$ en fonction de $n$ :** $$U_n = V_n + 4 = 4 - \left(\frac{1}{4}\right)^n$$ 7. **Calcul de la limite de $U_n$ quand $n \to +\infty$ :** Puisque $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n = 0$, on obtient $$\lim_{n \to +\infty} U_n = 4 - 0 = 4$$ **Réponses finales :** - $U_1 = \frac{15}{4}$, $U_2 = \frac{63}{16}$, $U_3 = \frac{255}{64}$ - $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{4}$ - $U_n = 4 - \left(\frac{1}{4}\right)^n$ - $\lim_{n \to +\infty} U_n = 4$